辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种在数学中用于计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的有效方法。这个算法最早出现在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，因此得名。欧几里得算法基于一个简单的数学原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
原理
假设有两个非负整数A和B（A >= B），并且A不是B的倍数。根据欧几里得算法，A和B的最大公约数与B和A % B（A除以B的余数）的最大公约数相同。这意味着我们可以通过以下步骤来计算A和B的最大公约数：
- 计算
A除以B的余数，记为R（R = A % B）。 - 用
B替换A，用R替换B。 - 重复步骤1和2，直到
B为0。当B为0时，A就是所求的最大公约数。
例子
让我们通过一个具体的例子来说明这个算法：
计算GCD(56, 48)：
A = 56，B = 48。- 计算余数：
R = 56 % 48 = 8。 - 用
B的值替换A，用R的值替换B：现在A = 48，B = 8。 - 再次计算余数：
R = 48 % 8 = 0。 - 现在
B为0，算法结束。此时A = 8，所以GCD(56, 48) = 8。
为什么欧几里得算法有效？
欧几里得算法之所以有效，是因为它利用了这样一个事实：如果d是A和B的一个公约数，那么d也是A % B的公约数。这是因为d能够同时整除A和B，所以也能够整除A - kB（其中k是整数，使得A = kB + R）。因此，当我们在算法中用A % B替换A时，我们实际上是在寻找与原来的A和B具有相同公约数的一对数。
学习欧几里得算法
要学习欧几里得算法，你可以从以下几个方面入手：
理解最大公约数的概念：了解最大公约数是什么，以及它在数学和计算机科学中的应用。
学习算法原理：理解欧几里得算法的数学基础，包括为什么算法有效，以及它如何工作。
动手实践：通过编写代码来实现欧几里得算法，这可以帮助你更好地理解算法的工作原理。
解决实际问题：尝试使用欧几里得算法解决一些实际问题，例如简化分数、解决线性同余方程等。
深入研究：阅读有关数论的资料，了解最大公约数和其他相关概念在数学中的深入应用。
