在这篇文章中，我将对多元线性回归做同样的事情。我将得出block的Gibbs采样器所需的条件后验分布。然后，我将对采样器进行编码，并使用模拟数据对其进行测试。

贝叶斯模型

假设我们有一个样本量的 主题。贝叶斯多元回归假设该向量是从多元正态分布中提取的 ，通过使用恒等矩阵，我们假设独立的观察结果。正式地，

到目前为止，这与 环境中看到的多元正态回归相同。则将概率最大化可得出以下解 ：

贝叶斯模型是通过指定为一个先验分布得到 。在此示例中，我将在以下情况下使用 先验值

block Gibbs

在对采样器进行编码之前，我们需要导出Gibbs采样器的 每个参数的后验条件分布。

条件后验 取更多的线性代数。

这是一个非常漂亮和直观的结果。条件后验的协方差矩阵是协方差矩阵的频繁估计，

还要注意，条件后验是一个多元分布，因为它 是一个向量。因此，在Gibbs采样器的每次迭代中，我们从后验画出一个完整的矢量 。

模拟

我模拟的 结果向量 。

运行 Gibbs采样器 会生成对真实系数和方差参数的估计。运行了500,000次迭代。修整周期为100,000次，修整了10次迭代。

以下是MCMC链的图，其中真实值用红线表示。

# calculate posterior summary statistics (stats not used in rest of code)
post_sum_stats<-post_dist %>%
  group_by(param) %>%
  summarise(median=median(draw),
            lwr=quantile(draw,.025),
            upr=quantile(draw,.975)) %>%
  mutate(true_vals=c(tb,tphi))

# merge on summary statistics
post_dist <- post_dist %>%
  left_join(post_sum_stats, by='param')

# plot MCMC Chains
ggplot(post_dist,aes(x=iter,y=draw)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=true_vals, col='red'), show.legend=FALSE)+
  facet_grid(param ~ .,scale='free_y',switch = 'y') +
  theme_bw() +
  xlab('Gibbs Sample Iteration') + ylab('MCMC Chains') +
  ggtitle('Gibbs Sampler MCMC Chains by Parameter')

这是 修整后参数的后验分布：

ggplot(post_dist,aes(x=draw)) +
  geom_histogram(aes(x=draw),bins=50) +
  geom_vline(aes(xintercept = true_vals,col='red'), show.legend = FALSE) +
  facet_grid(. ~ param, scale='free_x',switch = 'y') +
  theme_bw() +
  xlab('Posterior Distributions') + ylab('Count') +
  ggtitle('Posterior Distributions of Parameters (true values in red)')

似乎我们能够获得这些参数的合理后验估计。为了确保贝叶斯估计器正常工作，我对1,000个模拟数据集重复了此练习。

这将产生1,000组后验均值和1,000组95％可信区间。平均而言，这1000个后验均值应以事实为中心。平均而言，真实参数值应在95％的时间的可信区间内。

以下是这些评估的摘要。

“估计平均值”列是所有1,000个模拟中的平均后验平均值。非常好。偏差百分比均小于5％。对于所有参数，95％CI的覆盖率约为95％。

扩展

我们可以对该模型进行许多扩展。例如，可以使用除正态分布外的其他分布来适应不同类型的结果。 例如，如果我们有二元数据，则可以将其建模为：

然后在上放一个先验分布 。这个想法将贝叶斯线性回归推广到贝叶斯GLM。

在本文中概述的线性情况下，可以更灵活地对协方差矩阵建模。相反，假设协方差矩阵是对角线且具有单个公共方差。这是多元线性回归中的同方差假设。如果数据是聚类的（例如，每个受试者有多个观察结果），我们可以使用反Wishart分布来建模整个协方差矩阵。