预备知识
本分析针对：连通无向图G。
搜索树
节点的父子关系：任意 节点的邻接 节点除了已处理 节点，都是它的子 节点。 以任意一点为根开始DFS，计算所有 节点的父子关系。只保留个子 节点到父 节点形成边，形成的树是搜索树。搜索树上的边是树边，非树边是回边。
节点级别，根节点级别0，它的子节点级别1,它的孙节点级别2。
cur子树：搜索树中，以cur为根的子树。
cur子图：dfs(cur) ，依次dfs(next各子节点)。整个dfs过程，所有cur→ \rightarrow→ next 形成的边组成的子图简称cur子树。dfs(next)前，如果next已编号（分配时间戳、访问、处理），则不是子节点。
时间戳
计算搜索树上时，各节点的时间顺序，我的习惯是从0开始。伪代码如下：
m_iTime=0 DFS( cur) { cur的时间戳是m_iTime++。 for(next: cur的未编号邻接点) { dfs(next) } }
若干性质
性质一： 搜索树上的两点连通，则对应的图一定连通。因为：搜索树有的边，对应的图都有。
性质二：搜索树上，假定一个节点n1有m个子节点，则删除n1和相关边后，有1+m个连通区域。各子节点各一个连通区域，其它节点一个连通区域（简称根子树）。根据性质一，对应的图最多1+m个连通区域。
性质三：dfs(c1)前，c1到c10的某条路径全部是未访问节点，则dfs(c1)时一定会访问c10。
令在这条路径上：c1的后继点是c2,c2是c3,c3是c4 ⋯ \cdots⋯
第一次处理c1时，c1处理完c2的哥哥节点后，如果c2未处理，则处理c2，故c2一定会被处理。
第一次处理c2时，c2处理完c3的哥哥节点后，如果c3未处理，则处理c3，故c3一定会被处理。
⋮ \vdots⋮
性质四：从两个兄弟子树c1,c2的各选择一个节点c11和c21，他们在原图中，要么不连通；要么任何从c11开始到c21结束的路径一定包括他们的某个公共祖先节点。换种说法：c11和c21如果连通，一定经过他们的公共祖先。
性质四1:令两个兄弟子树的父亲节点是搜索树的根（级别0)，假定存在若干组兄弟子树不符合性质四，不失一般性，假定c1这些组子树中最年长，即c1和它的哥哥子树不连通，删除它所有的哥哥子树。 因为c1和c11存在不过经过根节点的路径，c11和c21存在不经过根节点的路径，故c1到c21存在不经过根节点的路径。由于c1是最年长的哥哥节点，故dfs(c1)之前，只有根节点已处理，故c1到c21是全部未处理的路径，根据性质三，dfs(c1)是会处理c21，故c21和c1是一棵子树。与假设矛盾。
性质四2：如果某节点cur级别小于等于leve，符合性质四。则级别为leve+1的节点也符合性质四。
如果c11到c21的某条路径经过cur子树以外的节点c31，则必定经过c31和cur的公共祖先，必定是c11和c21的公共祖先，符合性质四。
如果不经过cur子树以外的节点，则删除cur子树外的所有节点。问题就变成性质四1。
判断割点
在一个无向图中，如果删除一个节点（顶点）及相关联的边后，图的连通区域（分量）增加。则此节点是割点。
性质五
dfs(cur) 返回 本次dfs直接或间接dfs各节点的时间戳最小值。dfs(cur) 是节点类型(以cur等于6为例），节点类型：
一，cur的祖先节点，部分访问，紫色显示。
二，cur的祖先节点的哥哥子树，访问完成，红色显示。
三，cur的祖先节点的弟弟子树，没有开始访问，蓝色显示。
排除next已经访问，DFS的返回值，分如下几种情况：
一，只访问了本子树，如DFS(3) ，等于time[next]。必定和根子树不连通。
二，只访问了本子树，本子树和cur有两个或以上条边相连，如6和12都和2相连。返回值time[cur]。必定和根子树不连通。
三，访问了紫,dfs(next)是这些点和cur的最早公共祖先的最小时间戳。如果返回值是time[cur]，则说明next子树和cur子树外的节点全部通过cur，删除cur后，无法和根子树连通。如果小于time[cur]则表示和根子树连通。
四，根据性质四，访问红蓝节点必定经过紫点，而紫点都已经访问，故在访问到红蓝点之前DFS会结束。
推论：以绿点为起点的边，终点要么是绿点，要么是紫点。即要么是树边，回边（非树边）一定指向它祖宗。
性质六：
假设存在不经过cur，存在从next到某个pub的路径，则一定可以FDS到。如果此路径经过多个pub ，删除第一pub后面的边。因为：因为dfs一个和dfs多个pub的结果一样。假设不经过cur，性质五证明不经过红色蓝色，pub只有一个且在最后，其它节点都是绿点。根据性质三，最后一个绿点一定会访问，访问的时候一定会dfs到此pub。
判断割点的代码
时间复杂度O(n)+O(m)。n是顶点数，m是边数。每个顶点只会dfs一次，每次dfs会循环所有临接点。
如果有多个连通区域，同一个连通区域的时间戳是连续的，故用m_vRegionFirstTime 记录每个连通区域的最小时间戳。m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域
m_vNodeToTime 各节点的时间戳。
//割点 class CCutPoint { public: CCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size()) { m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1); m_vCutNewRegion.resize(m_iSize); for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { if (-1 == m_vNodeToTime[i]) { m_vRegionFirstTime.emplace_back(m_iTime); dfs(vNeiB, i, -1); } } } int dfs(const vector<vector<int>>& vNeiB,const int cur, const int parent) { int iMinTime = m_vNodeToTime[cur] = m_iTime++; int iRegionCount = (-1 != parent);//根连通区域数量 for (const auto& next : vNeiB[cur]) { if (-1 != m_vNodeToTime[next]) { iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]); continue; } const int childMinTime = dfs(vNeiB, next, cur); iMinTime = min(iMinTime, childMinTime); if (childMinTime >= m_vNodeToTime[cur]) { iRegionCount++; m_vCutNewRegion[cur].emplace_back(m_vNodeToTime[next], m_iTime); } } if (iRegionCount < 2) { m_vCutNewRegion[cur].clear(); } return iMinTime; } const int m_iSize; const vector<int>& Time()const { return m_vNodeToTime; }//各节点的时间戳 const vector<int>& RegionFirstTime()const { return m_vRegionFirstTime; }//各连通区域的最小时间戳 vector<bool> Cut()const { vector<bool> ret; for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { ret.emplace_back(m_vCutNewRegion[i].size()); } return ret; }//是否是割点 protected: vector<int> m_vNodeToTime; vector<int> m_vRegionFirstTime; vector < vector<pair<int, int>>> m_vCutNewRegion; //m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域 int m_iTime = 0; };
判断割点后，两点是否连通
增加函数判断割点后，两个点是否连通，每次调用时间复杂度O(logn)，内部用到了二分查找。
获取：指定割点将所在连通区域，分割成若干个子连通区域。时间复杂度：O(n)。
【树上倍增】【割点】 【换根法】3067. 在带权树网络中统计可连接服务器对数目
【图论】【割点】【C++算法】928. 尽量减少恶意软件的传播 II
代码
class CCutPoint { public: CCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size()) { m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1); m_vCutNewRegion.resize(m_iSize); for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { if (-1 == m_vNodeToTime[i]) { m_vRegionFirstTime.emplace_back(m_iTime); dfs(vNeiB, i, -1); } } } int dfs(const vector<vector<int>>& vNeiB,const int cur, const int parent) { int iMinTime = m_vNodeToTime[cur] = m_iTime++; int iRegionCount = (-1 != parent);//根连通区域数量 for (const auto& next : vNeiB[cur]) { if (-1 != m_vNodeToTime[next]) { iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]); continue; } const int childMinTime = dfs(vNeiB, next, cur); iMinTime = min(iMinTime, childMinTime); if (childMinTime >= m_vNodeToTime[cur]) { iRegionCount++; m_vCutNewRegion[cur].emplace_back(m_vNodeToTime[next], m_iTime); } } if (iRegionCount < 2) { m_vCutNewRegion[cur].clear(); } return iMinTime; } const int m_iSize; const vector<int>& Time()const { return m_vNodeToTime; }//各节点的时间戳 const vector<int>& RegionFirstTime()const { return m_vRegionFirstTime; }//各连通区域的最小时间戳 vector<bool> Cut()const { vector<bool> ret; for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { ret.emplace_back(m_vCutNewRegion[i].size()); } return ret; }// const vector < vector<pair<int, int>>>& NewRegion()const { return m_vCutNewRegion; }; protected: vector<int> m_vNodeToTime; vector<int> m_vRegionFirstTime; vector < vector<pair<int, int>>> m_vCutNewRegion; //m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域 int m_iTime = 0; }; class CConnectAfterCutPoint { public: CConnectAfterCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) :m_ct(vNeiB) { m_vTimeToNode.resize(m_ct.m_iSize); m_vNodeToRegion.resize(m_ct.m_iSize); for (int iNode = 0; iNode < m_ct.m_iSize; iNode++) { m_vTimeToNode[m_ct.Time()[iNode]] = iNode; } for (int iTime = 0,iRegion= 0; iTime < m_ct.m_iSize; iTime++) { if ((iRegion < m_ct.RegionFirstTime().size()) && (m_ct.RegionFirstTime()[iRegion] == iTime)) { iRegion++; } m_vNodeToRegion[m_vTimeToNode[iTime]] = (iRegion - 1); } } bool Connect(int src, int dest, int iCut)const { if (m_vNodeToRegion[src] != m_vNodeToRegion[dest]) { return false;//不在一个连通区域 } if (0 == m_ct.NewRegion()[iCut].size()) {//不是割点 return true; } const int r1 = GetCutRegion(iCut, src); const int r2 = GetCutRegion(iCut, dest); return r1 == r2; } vector<vector<int>> GetSubRegionOfCut(const int iCut)const {//删除iCut及和它相连的边后，iCut所在的区域会分成几个区域：父节点一个区域、各子节点 一个区域 //父节点所在区域可能为空，如果iCut所在的连通区域只有一个节点，则返回一个没有节点的 区域。 const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut]; vector<int> vParen; const int iRegion = m_vNodeToRegion[iCut]; const int iEndTime = (iRegion + 1 == m_ct.RegionFirstTime().size()) ? m_ct.m_iSize : m_ct.RegionFirstTime()[iRegion+1]; vector<vector<int>> vRet; for (int iTime = m_ct.RegionFirstTime()[iRegion],j=-1; iTime < iEndTime; iTime++) { if (iCut == m_vTimeToNode[iTime]) { continue; } if ((j + 1 < v.size()) && (v[j + 1].first == iTime)) { j++; vRet.emplace_back(); } const int iNode = m_vTimeToNode[iTime]; if ((-1 != j ) && (iTime >= v[j].first) && (iTime < v[j].second)) { vRet.back().emplace_back(iNode); } else { vParen.emplace_back(iNode); } } vRet.emplace_back(); vRet.back().swap(vParen); return vRet; } protected: int GetCutRegion(int iCut, int iNode)const { const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut]; auto it = std::upper_bound(v.begin(), v.end(), m_ct.Time()[iNode], [](int time, const std::pair<int, int>& pr) {return time < pr.first; }); if (v.begin() == it) { return v.size(); } --it; return (it->second > m_ct.Time()[iNode]) ? (it - v.begin()) : v.size(); } vector<int> m_vTimeToNode; vector<int> m_vNodeToRegion;//各节点所在区域 const CCutPoint m_ct; };
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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下载
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https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
