一、树概念及结构
1.1 树的概念
树是一种 非线性 的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
（1）有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点
（2）除根节点外， 其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm ，其中每 一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一 个前驱，可以有0个或多个后继
（3）因此， 树是递归定义
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 树的相关概念
节点的度 ： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图： A 的为 6
叶节点或终端节点 ： 度为 0 的节点称为叶节点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点
非终端节点或分支节点 ： 度不为 0 的节点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点
双亲节点或父节点 ： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B 的父节点
孩子节点或子节点 ： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点
兄弟节点 ： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点
树的度 ： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6
节点的层次 ： 从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；
树的高度或深度 ： 树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
堂兄弟节点 ： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点
节点的祖先 ： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙
森林 ： 由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。
typedef int DataType; struct Node { struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data; // 结点中的数据域 };
二 、 二叉树概念及结构
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 特殊的二叉树
满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有 2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n1 ,则有 n0＝n1 ＋1
4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n个结点的满二叉树的深度，h=log(N+1)
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：
（1） 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
（2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，若2i+1>=n，则无左孩子
（3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，若2i+2>=n，则无右孩子
2.4 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有 堆 才会使用数组来存储。 二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链表来表示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。
三、 堆的概念及结构
堆的性质：
（1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
（2）堆总是一棵完全二叉树。
3.1 堆的实现
3.1.2 堆的基本功能实现
#include<stdio.h> #include<assert.h> #include<stdbool.h> typedef int HPDataType; typedef struct Heap { HPDataType* a; int size; int capacity; }Heap; // 堆的初始化 void HeapInit(Heap* hp); // 堆的销毁 void HeapDestory(Heap* hp); // 堆的插入 void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x); // 堆的删除 void HeapPop(Heap* hp); // 取堆顶的数据 HPDataType HeapTop(Heap* hp); // 堆的数据个数 int HeapSize(Heap* hp); // 堆的判空 bool HeapEmpty(Heap* hp);
3.3.2 堆的创建与销毁
// 堆的初始化 void HeapInit(Heap*hp) { assert(hp); hp-> a=NULL; hp->size=0; hp->capacity=0; } // 堆的销毁 void HeapDestory(Heap* hp) { assert(hp); free(hp->a); hp->a = NULL; hp->size = 0; hp->capacity = 0; }
3.3.3 堆的插入与删除
堆的插入：（1)数组的常规插入
（2）将数据向上调整
void swap(HPDataType* x, HPDataType* y) { HPDataType tmp = * x; *x = * y; *y = tmp; } // 堆的插入 void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) { assert(hp); if (hp->size == hp->capacity) { int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (tmp == NULL) { perror("realloc fail:"); return; } hp->a = tmp; hp->capacity = newcapacity; } hp->a[hp->size] = x; hp->size++; int child = hp->size - 1; int parent = (child - 1) / 2; //小堆 while (child>0) { if (hp->a[parent] > hp->a[child]) { swap(&hp->a[parent], &hp->a[child]); } child = parent; parent = (child - 1) / 2; } }
堆的删除：（1）将首尾交换，删除原根节点
（2）将数据向下调整
// 堆的删除(删除堆顶） void HeapPop(Heap* hp) { assert(hp); assert(hp->size > 0); swap(&hp->a[hp->size - 1], &hp->a[0]); hp->size--; int parent = 0; int child = parent * 2 + 1;//左孩子 while (child<hp->size) { if (child<hp->size-1&&hp->a[child] > hp->a[child + 1]) { ++child; } if (hp->a[parent] > hp->a[child]) { swap(&hp->a[child], &hp->a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } }
3.3.4 获取堆顶元素和获取堆的元素个数
// 取堆顶的数据 HPDataType HeapTop(Heap* hp) { assert(hp); return hp->a[0]; } // 堆的数据个数 int HeapSize(Heap* hp) { assert(hp); return hp->size; }
3.3.5 堆是否为空
// 堆的判空 bool HeapEmpty(Heap* hp) { assert(hp); return hp->size == 0; }
3.2 堆的应用
3.2.1 堆排序（时间复杂度O（NlogN))
堆排序分为俩步：
1.在数组上直接建堆
（1）向上调整建堆（时间复杂度为O(NlogN)
for (int i = 1; i < n; i++) { AdjustUp(a, i); }
向上调整建堆的时间复杂度计算：
总的调整次数为T(h)
T(h)= 2^(h-1)*(h-1)+2^(h-2)*(h-2)+......+2^2*2+2^1*1 ①
2*T(h)= 2^(h)*(h-1)+2^(h-1)*(h-2)+......+2^3*2+2^2*1 ②
② -①得：
T(h)=2^(h)*(h-1)-(2^(h-1)+......+2^3+2^2+2^1+2^0 )+1
T(h)=2^(h)*(h-1)-(2^h-1)+1
T(h)=2^(h)*(h-1)-2^h+2
T(h)=2^h*(h-2)+2 ③
满二叉树又有高度h与节点N的关系
N=2^h-1->h=log(N+1) 带入 ③
O(N)=(N+1)(log(N+1)-2)+2
O(N)=NlogN
（2）向下调整建堆(O(N))
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); }
向下调整建堆的时间复杂度计算：
我们从不是叶子的第一个节点（上图中红框标注）开始向下调整，一直到根节点
总的调整次数为T(h)
T(h)= 2^(h-2)*1+2^(h-3)*2+2^(h-4)*3+......+2^1*(h-2)+2^0*(h-1) ①
2*T(h)=2^(h-1)*1+2^(h-2)*2+2^(h-3)*3+......+2^2*(h-2)+2^1*(h-1) ②
② -①得：
T(h)=2^(h-1)*1+2^(h-2)+2^(h-3)+......+2^2+2^1-（h-1)
T(h)=(2^(h-1)*1+2^(h-2)+2^(h-3)+......+2^2+2^1+2^0)-h
T(h)=2^h-1-h ③
满二叉树又有高度h与节点N的关系
N=2^h-1->h=log(N+1) 带入 ③
O(N)=N+1-1-log(N-1)
O(N)=N
若升序排列：建大堆
若降序排列：建小堆
注：向下建堆时间复杂度更低且下面排序用的也是向下调整，所以我们一般采用向下建堆，可以只写一个向下调整功能
2. 利用堆删除思想来进行排序（向下调整）(O(NlogN))
(1)将堆顶和堆尾进行互换
(2)将数据向下调整
int end = n - 1; while(end>0) { swap(&a[0], &a[end]); AdjustDown(a, end, 0); --end; }
堆排序完整代码：
void swap(int *x, int *y) { int tmp = *x; *x = *y; *y = tmp; } void AdjustUp(int* a, int child) { while (child > 0) { int parent = (child - 1) / 2; if (a[parent] < a[child]) { swap(&a[parent], &a[child]); child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void AdjustDown(int* a, int size, int parent) { int child = parent * 2 + 1;//左孩子 while (child<size) { if (child < size - 1 && a[child] < a[child + 1]) { ++child; } if (a[parent] < a[child]) { swap(&a[parent], &a[child]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void HeapSort(int* a, int n) { //for (int i = 1; i < n; i++) //{ // AdjustUp(a, i); //} for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } int end = n - 1; while(end>0) { swap(&a[0], &a[end]); AdjustDown(a, end, 0); --end; } }
3.2.2 top-K问题
找一堆数据中最大的k个数据：
（1）建立k个元素的小堆
（2）若是其他数据比堆顶大，则替换，并且向下调整，使大数据都沉到堆底
void AdjustUp(int* a, int child) { while (child > 0) { int parent = (child - 1) / 2; if (a[parent] > a[child]) { swap(&a[parent], &a[child]); child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void AdjustDown(int* a, int size, int parent) { int child = parent * 2 + 1;//左孩子 while (child<size) { if (child < size - 1 && a[child] >a[child + 1]) { ++child; } if (a[parent] > a[child]) { swap(&a[parent], &a[child]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void CreateDate() { int n = 1000; srand((unsigned int)time(NULL)); FILE* f = fopen("date.txt", "w"); if (f == NULL) { perror("fopen error:"); return; } for (int i = 0; i < 1000; i++) { int x = rand()%1000; fprintf(f, "%d\n", x); } fclose(f); } void PrintTopK(char* file, int k)//从文件中找到前最大的k个数据 { FILE* fout = fopen(file, "r"); if (fout == NULL) { perror("fopen fail:"); return; } //建k个数据的小堆 int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k); for (int i = 0; i < k; i++) { fscanf(fout, "%d", minheap); AdjustUp(minheap, i); } //继续遍历文件数据，大于堆顶，进堆 int x = 0; while (fscanf(fout, "%d", &x)!=EOF) { if (minheap[0] < x) { /*if (x > 950) { int sss = 0; }*/ minheap[0]= x; AdjustDown(minheap, k, 0); } ; } for (int i = 0; i < k; i++) { printf("%d ", minheap[i]); } }
