动态规划的时间复杂度优化

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优化动态规划的时间复杂度，主要有如下几种：

一，不同的状态表示。

比如：n个人，m顶帽子。

第一种方式：dp[i][mask] ,i表示前i个人已经选择帽子，mask 表示 那些帽子已经选择。 空间复杂度：O(n2^m)。

第二种方式：dp[i][mask] ,i表示前i个帽子已经选择，mask表示那些人已经选择。 空间复杂度：O(m2²)。

n大，则现在方式一；否则选择方式二。

【状态压缩】【动态规划】【C++算法】1125.最小的必要团队

二，通过优化状态减少状态数

例一

【动态规划】【C++算法】2518. 好分区的数目

num的长度∈ \in∈[1,1000],num[i]∈ \in∈[0,10⁶] k∈ \in∈[0,1000]。

将num的元素放到两个数组中，两个数组的和都为k。

由于num[i] >=0，所以 数组和已经大于k 的无论如何都不会等于k，抛弃。

dp[k1][k2] 的状态数是固定。

当处理完 n u m [ 0 , i ) 时 , 两个数组的和是固定    ⟺    k 1 + k 2 ≡ ∑ j : 0 i − 1 n u m s [ j ] 当处理完num[0,i)时,两个数组的和是固定 \iff k1+k2 \equiv \sum\Large_{j:0}^{i-1} nums[j]当处理完num[0,i)时,两个数组的和是固定⟺k1+k2≡∑j:0i−1nums[j]

我记录k1或k2就可以了。新问题是k1 可能是5e8。

{ k 1 k 1 < k − m i n ( k 2 , k ) e l s e \begin{cases} k1 & k1 <k \\ -min(k2,k) & else \\ \end{cases}{k1−min(k2,k)k1<kelse

例子二

2742. 给墙壁刷油漆

付费工人，各任务用时time[i]，免费工人用时1，time.length∈ \in∈[1,500]。付费工人用时和必须大于等于免费工人用时。如果分别记录付费工人和免费工人用时，则状态数：500*500。

付费工人用时和必须大于等于免费工人    ⟺    \iff⟺ (statu = 付费工人用时 - 免费工人用时) >= 0

statu ∈ \in∈ [-500,500] 可以记录状态的时候+500，解析状态的时候再-500。

三 通过优化转移方程

转移方程主要有两种：

a，枚举前置状态，更新后置状态。除剪枝小幅提升性能外，暂时没发现优化方法。

b,枚举后置状态，通过前置状态计算后置状态。利用前缀和、极值、优先队列（堆）、单调栈（队列、向量）、预处理 等优化。

四 匹配无限次可以拆分成匹配0次和1次

以通配符为例。

abc 匹配 *

初始匹配长度0

处理* ：

长度0的后置状态：*不匹配任何字符，匹配长度0。

长度0的后置状态：*匹配一个字符，匹配长度1。

长度1的后置状态：*不匹配任何字符，匹配长度1。

长度1的后置状态：*匹配一个字符，匹配长度2。

⋮ \quad \quad \vdots⋮

总计： *可以匹配0到无限字符，才可以这样处理。 .只能匹配一个字符不能这样处理。

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五 逆向思考

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正向思考：要记录进入(r,c)后的健康，还有记录初始健康。比如：路径一： 3 → \rightarrow→ -2 ，初始只需要1，最终健康2。

路径二： -1 → \rightarrow→ 4 ，初始要求 2，最终健康度 5。如果终点格是-1,前者能过。 如果是-4，后者能过。前者需要4，才能过。

{ 路径一初始 1 ，路径二初始 2 终点 < − 1 路径一初始 4 ，路径二初始 2 终点 − 4 \begin{cases} 路径一初始1，路径二初始2 & 终点< -1 \\ 路径一初始4，路径二初始2 & 终点-4 \\ \end{cases}{路径一初始1，路径二初始2路径一初始4，路径二初始2终点<−1终点−4

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六 去掉重复

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