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本文涉及的基础知识点
位运算
LeetCode100160. 价值和小于等于 K 的最大数字
给你一个整数 k 和一个整数 x 。
令 s 为整数 num 的下标从1 开始的二进制表示。我们说一个整数 num 的 价值 是满足 i % x == 0 且 s[i] 是 设置位 的 i 的数目。
请你返回 最大 整数 num ，满足从 1 到 num 的所有整数的 价值 和小于等于 k 。
注意：
一个整数二进制表示下 设置位 是值为 1 的数位。
一个整数的二进制表示下标从右到左编号，比方说如果 s == 11100 ，那么 s[4] == 1 且 s[2] == 0 。
示例 1：
输入：k = 9, x = 1
输出：6
解释：数字 1 ，2 ，3 ，4 ，5 和 6 二进制表示分别为 “1” ，“10” ，“11” ，“100” ，“101” 和 “110” 。
由于 x 等于 1 ，每个数字的价值分别为所有设置位的数目。
这些数字的所有设置位数目总数是 9 ，所以前 6 个数字的价值和为 9 。
所以答案为 6 。
示例 2：
输入：k = 7, x = 2
输出：9
解释：由于 x 等于 2 ，我们检查每个数字的偶数位。
2 和 3 在二进制表示下的第二个数位为设置位，所以它们的价值和为 2 。
6 和 7 在二进制表示下的第二个数位为设置位，所以它们的价值和为 2 。
8 和 9 在二进制表示下的第四个数位为设置位但第二个数位不是设置位，所以它们的价值和为 2 。
数字 1 ，4 和 5 在二进制下偶数位都不是设置位，所以它们的价值和为 0 。
10 在二进制表示下的第二个数位和第四个数位都是设置位，所以它的价值为 2 。
前 9 个数字的价值和为 6 。
前 10 个数字的价值和为 8，超过了 k = 7 ，所以答案为 9 。
提示：
1 <= k <= 1015
1 <= x <= 8
二分查找
随着num的增加，价值和单调增加。这是二分查找的基础。寻找最后一个符合条件的nums，用左闭右开空间。
如何求1到num第i位的价值和。 由于0不包括1，所以本问题等效与0到num的价值和。
| i==0 | 0 1 … | 周期长度2 |
| i==1 | 00 01 10 11… | 周期长度4 |
| i==2 | 000 001 010 011 100 101 110 111… | 周期长度8 |
| … |
周期长度 1<<i 。前半个周期，全部是0，后半个周期全部是1。
[0,num]共num+1个数。
- 完整周期数：(num+1)/(1 << i ) 每个周期有半数1
- 不足一个周期的数有iCnt2= (num+1)%(1<<i) 1的数量为：iCnt2-- (i <<i )/2 iCnt如果小于0，取0.
代码
核心代码
这周的LeetCode C++可能有问题，总溢出，所以加了不少判断。
class Solution { public: long long findMaximumNumber(long long k, int x) { long long left = 0, r = 5e17; while (r - left > 1) { const auto mid = left + (r - left) / 2; if (Cnt(mid, k,x) <= k) { left = mid; } else { r = mid; } } return left; } long long Cnt(long long mid,int k,int x ) { long long llCnt = 0; for (int ii = x; ii <= 60; ii += x) { const long long tmp = 1LL << ii;//周期 const long long cur1 = (mid + 1) / tmp * (tmp / 2); const long long cur2 = max(0LL, (mid + 1) % tmp - tmp / 2); if (LLONG_MAX - llCnt < cur1) { return k + 1; } llCnt += cur1; if (LLONG_MAX - llCnt < cur2) { return k + 1; } llCnt += cur2; } return llCnt; } };
测试用例
template<class T> void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } template<class T> void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { long long k; int x; { Solution sln; k = 19, x = 6; auto res = sln.findMaximumNumber(k, x); Assert(50LL, res); } { Solution sln; k = 9, x = 1; auto res = sln.findMaximumNumber(k, x); Assert(6LL, res); } { Solution sln; k = 7, x = 2; auto res = sln.findMaximumNumber(k, x); Assert(9LL, res); } { Solution sln; k = 343883588590415, x = 1; auto res = sln.findMaximumNumber(k, x); //Assert(9LL, res); } }
