C++系列-第3章循环结构-29-累乘和连除

简介: C++系列-第3章循环结构-29-累乘和连除

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累乘

累乘符号“Π”

∏是累乘符号,是希腊字母π的大写,读做pai,在数学上通常表示连乘,,小写π就表示圆周率。

链接:https://www.zhihu.com/question/26094736/answer/610713978

累加

∑是累加符号,是希腊字母σ的大写,读做sigma,在数学上通常表示连加,,小写σ就表示面密度(区别与体密度ρ和线密度η)。

函数的累积求和,n取[m, k]中的连续整数值,这个变量n可以换成其他任意字母,比如x。我们把下面的“n=m”和上面的“k”称作这个和式的下标。在上下文明确的情况下,下标可以省略。

求和符号同样可以表示无穷级数。

 求和与求积的用法是完全相同的。当下标不是连续整数时,下标也可以有不同的表达方式。“a|b”表示b能整除a,下面和式表示所有10的正因子的和。

排列组合与累加累乘

一:P 的由来

所谓排列组合,排列在组合之前,咱们要聊的第一个概念是“排列”,排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement,因此在数学符号中,用 P 或者 A 表示都可以,二者意思完全一样。

我们常见的 P 右边会跟两个数字(或字母),右下角的数字 n 表示总数,右上角的数字 m 表示抽出的个数。整个符号的意思是“从 n 个人中,有顺序地抽出 m 个人的抽法数”,可以读作“P n 抽 m”。

那么,到底什么叫做有顺序的?

我们来举个数字很小的例子:比如:班里有三名同学,成绩前两名有几种可能性?咱们可以用乘法原理:选第一名有 3 种可能性,选第二名有 2 中可能性,因为第一名那个人不可能同时又是第二名了,将这两步相乘起来。(如果你不太理解乘法原理,可以看看下图直观列举的表示。)

这个公式需要注意的是:虽然书上每次讲到这个公式时一般以阶乘(factorial)的形式给出,但实际计算中,往往不用阶乘。我的记法是:从大的数字开始往小乘,乘“小的数字那么多”个。

二:C 的由来

咱们聊的第二个概念是“组合”,它比排列更常用,组合的英文是 Combination,因此在数学符号中用 C 表示,美国和英国教材中,也常用“长括号”表示组合数。我们常见的 C 右边会跟两个数字(或字母),右下角的数字 n 表示总数,右上角的数字 m 表示抽出的个数。整个符号的意思是“从 n 个人中,不计顺序地抽出 m 个人的抽法数”,可以读作“C n 抽 m”。

那么,到底什么叫做不计顺序的?

我们也来举个例子🌰:

比如:班里有三名同学,选出两名代表参加年级会议有几种选法?

于是,组合数公式就是在排列数公式上除以一个 m!。但实际计算中,往往不用阶乘。我的记法是:从大的数字开始往小乘,乘“小的数字那么多”个,再除以“小的数字开始往小乘,乘小的数字那么多个”。

计算阶乘

题目描述

n ! n!n!,也就是 1 × 2 × 3 ⋯ × n 1\times2\times3\dots\times n1×2×3×n

挑战:尝试不使用循环语句(for、while)完成这个任务。

输入格式

第一行输入一个正整数 n nn

输出格式

输出一个正整数,表示 n ! n!n!

样例 #1

样例输入 #1
3

##3# 样例输出 #1

6

提示

数据保证,1 ≤ n ≤ 12 1 \leq n\le121n12

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long ans=1;//保险,虽然不会int爆
int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++) ans*=i;
  cout<<ans;
  return 0;
}

输出为:

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream> 
using namespace std;
int n;
long long ans=1;
int main(){
  cin>>n;
  if(1<=n){ans*=1;}
  if(2<=n){ans*=2;}
  if(3<=n){ans*=3;}
  if(4<=n){ans*=4;}
  if(5<=n){ans*=5;}
  if(6<=n){ans*=6;}
  if(7<=n){ans*=7;}
  if(8<=n){ans*=8;}
  if(9<=n){ans*=9;}
  if(10<=n){ans*=10;}
  if(11<=n){ans*=11;}
  if(12<=n){ans*=12;}
  cout<<ans;
  return 0;
}

输出为:

幂的末尾

题目描述

a b a^bab 的末 3 33 位数是多少?

输入格式

两个正整数 a aab bb1 ≤ a ≤ 100 1 \le a \le 1001a1001 ≤ b ≤ 10000 1 \le b \le 100001b10000

输出格式

从高位到低位输出幂的末三位数字,中间无分隔符。若幂本身不足三位,在前面补零。

样例 #1

样例输入 #1
2 3
样例输出 #1
008

样例 #2

样例输入 #2
7 2011
样例输出 #2
743

代码

这题暴力肯定不予考虑(一本坑能这么单纯?),那么让我们换一种思路。

方法一

#include <iostream>
//#include <cstdio>
using namespace std;
int main(){
  int a,b;
  cin>>a>>b;
  int ans=1;
  //要把 ans 设为 1 ,即为 a 的 0 次。
  for(int i=1;i<=b;i++){
    //i 要从 1~b , 即为 a 的 b 次。
    ans*=a;
    ans%=1000;
  }
  if(ans<10)//如果这个数为 1 位数,先输出 2 个 0,再输出 ans。
    cout<<"00"<<ans;
  else if(10<=ans&&ans<100)//如果这个数为 2 位数,输出 1 个 0,再输出 ans。
    cout<<"0"<<ans;
  else
    cout<<ans;
}

输出为:

方法二

因为它只想要最后三位,所以我们可以用 for 循环模拟幂运算,并且每一次循环都取余1000,这样可以得到它的后三位,并且在最后输出时补齐。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long a, b, s = 1;
int main()
{
    cin >> a >> b;
    for(int i = 0;i < b;++i)
        s *= a, s %= 1000; //每乘一次模一次1000
    printf("%03lld", s); //补满3位的0
    return 0;
}

输出为:

求小数的某一位

题目描述

分数 a b \dfrac{a}{b}ba 化为小数后,小数点后第 n nn 位的数字是多少?

输入格式

三个正整数 a aab bbn nn,相邻两个数之间用单个空格隔开。0 < a ≤ b ≤ 100 0<a\le b\le1000<ab1001 ≤ n ≤ 10000 1 \le n \le 100001n10000

输出格式

一个数字。

样例 #1

样例输入 #1
1 2 1
样例输出 #1
5

代码

方法一

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
  int a,b,n;
  scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);//读入
  double ans;
  ans=a*1.0/b;
  ans-=int(ans);//去除整数部分
  for(int i=1;i<n;i++)//循环 n-1 次
  {
    ans*=10.0;//小数浮出
    ans-=int(ans);//去除整数部分
  }
  ans*=10;//将要求的这一位浮出
  cout<<int(ans)<<endl;//整数部分此时就剩一位,即答案
  return 0;//好习惯
}

输出为:

方法二

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,n;
    cin>>a>>b>>n;
    if(a==b){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        a=a*10%b;//我在这里把a和r合起来用
    cout<<a*10/b;
  return 0;
}

输出为:

总结

本文是C++系列博客,主要讲述累乘和连除的计算

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