什么是动态规划
动态规划通过额外的空间将已经搜索过的相似的结果（指某些具有相同性质解的集合）用一个数组存起来，所以DP中的状态转移看上去是某两三个值之间的推导，其实是某两三个集合之间的状态转移！
常见的背包模型
- 01背包问题
- 完全背包问题
- 多重背包问题
- 分组背包问题
01背包问题
典型题例：
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
示例 ：
输入：第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积 接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值 4 5 1 2 2 4 3 4 4 5
思路
代码：
朴素做法：
#include <iostream> using namespace std; const int N = 1010; int n, m; int v[N], w[N]; int f[N][N]; int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <=n; i ++) for (int j = 0; j <= m; j ++) { f[i][j] = f[i - 1][j]; //所有不选i的集合(左边集合) // 当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品 if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i -1][j - v[i]] + w[i]); } cout << f[n][m] << endl; return 0; }
空间优化-等式变形
#include <iostream> using namespace std; const int N = 1010; int n, m; int v[N], w[N]; int f[N]; int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++) for (int j = m; j >= v[i]; j --) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); cout << f[m] << endl; return 0; }
完全背包问题
典型题例：
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
示例 ：
输入：第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。 接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。 4 5 1 2 2 4 3 4 4 5 输出： 10
思路
代码：
朴素做法
#include <iostream> using namespace std; const int N = 1010; int n, m; int f[N][N]; int v[N], w[N]; int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++) for (int j = 1; j <= m; j ++){ f[i][j] = f[i -1][j]; //先算前1~i-1 if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); } cout << f[n][m] << endl; return 0; }
优化
#include <iostream> using namespace std; const int N = 1010; int n, m; int f[N]; int v[N], w[N]; int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; i ++) for (int j = v[i]; j <= m; j ++) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); cout << f[m] << endl; return 0; }
传送门：动态规划- 背包问题总结（二）
充电站
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