数据结构的复杂度

> 作者简介：დ旧言~，目前大一，现在学习Java，c，c++，Python等

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🌟前言

       我们国家是一个按劳分配的国家，多劳多得，少劳少得，不劳不得。这我我们不难看出，一个人的付出和收获是成正比的。而我们写代码也是如此，如果我们写代码复杂程度比较大，那这段代码占用内存也大。那代码的复杂度咋计算捏，咱们先抛出问题，相信学完本章节对于这个问题可以迎刃而解，话不多说，大家跟上我的脚步，一起学习——《数据结构的复杂度》。

🌙主体

今天的主要任务是能计算算法的时间复杂度和空间复杂度，并且常见时间复杂度以及复杂度oj练习能掌握熟练。

🌠算法效率

       我们知道每一道编程题有多种解法，因此每种解法的效率也是不同的，比如我们常见的冒泡法和快排，它们都能解决排序问题，而它们算法效率却相差甚远，而算法效率该如何衡量呢？这里我们就引进时间和空间两个维度来衡量，即时间复杂度和空间复杂度 。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。 在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

🌠时间复杂度

       时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数符f(x)，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

       找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

如：F(N) = N² + N + 20 ，计算的是程序运行的次数。

       可能大家一听到要学函数，我丢 ，时间复杂度和数学知识有一定的挂钩，大家一听菜菜捞捞 ，其实都是高中数学一些基础的知识，不慌不忙。

💤大O的渐进表示法

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N; ++i)
  {
    for (int j = 0; j < N; ++j)
    {
      ++count;
    }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

      实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

4.如果算的是一个常数那就用O(1)表示

💤举个栗子

💭例1

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

这里F(N) = 2*N+10，大O的渐进表示法为：O(N)

💭例2

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < M; ++k)
  {
    ++count;
  }
  for (int k = 0; k < N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

当M>N时：此时N为常数，O(M)

当M<N时：此时M为常数，O(N)

💭例3

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

此时F(N) = 100，大O的渐进表示法为：O(1)

 💭例4

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

这个头文件本质上是一个str字符数组找一个数组，因此需要遍历数组，大O的渐进表示法为：O(N)

 💭例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

这里是一个等差数列，0+1+2+3+4+...+N-1，F(N) = (N-1)*N/2 = N² / 2 + N/2，采用抓大头的方法，大O的渐进表示法为：O(N²)

💭例6

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
  assert(a);
  int begin = 0;
  int end = n - 1;
  // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
  while (begin <= end)
  {
    int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
    if (a[mid] < x)
      begin = mid + 1;
    else if (a[mid] > x)
      end = mid - 1;
    else
      return mid;
  }
  return -1;
}

这个是一个二分查找法，我们知道查找一次元素变为 N/2，类推元素个数变化

N/2，N/2/2，N/2/2/2...，1

假设查找需要X，所以 2^X = N，所以

一般我们写成logN

💭例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
  if (0 == N)
    return 1;
  return Fac(N - 1) * N;
}

我们知道每调用一次函数都在栈开辟空间，每使用一次会自动销毁，因此即使函数中有递归但还是调用一次，所以使用一次函数，调用一次，大O的渐进表示法为：O(N)

💭例8

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
  if (N < 3)
    return 1;
  return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

🌠空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

💤举个栗子

💭例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
    int exchange = 0;
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
      if (a[i - 1] > a[i])
      {
        Swap(&a[i - 1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    if (exchange == 0)
      break;
  }
}

这里有三个变量  end，exchange，i。用大O渐进法表示为：O(1)

💭例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
  if (n == 0)
    return NULL;
  long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
  fibArray[0] = 0;
  fibArray[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i)
  {
    fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
  }
  return fibArray;
}

这里开辟（N+1）个空间，用大O渐进法表示为：O(N)

💭例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
  if (N == 0)
    return 1;
  return Fac(N - 1) * N;
}

我们知道每调用一次函数都在栈开辟空间，每使用一次会自动销毁，因此即使函数中有递归但还是调用一次，所以使用一次函数，调用一次，大O的渐进表示法为：O(N)

🌠拓展

常见复杂度对比：

🌟结束语

今天内容就到这里啦，时间过得很快，大家沉下心来好好学习，会有一定的收获的，大家多多坚持，嘻嘻，成功路上注定孤独，因为坚持的人不多。那请大家举起自己的小说手给博主一键三连，有你们的支持是我最大的动力💞💞💞，回见。