1. 二叉树理论基础
1.1 树型结构概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意：
- 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
- 根节点是唯一的
1.2 概念
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }
1.4 二叉树概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
1.5 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是
，则它就是满二叉树。如左图所示 - 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。如右图所示
1.6 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
(i>0)个结点 - 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是
(k>=0) - 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。即叶子结点的个数比度为2的节点多一个
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
上取整 - 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
1.7 二叉树的存储
顺序存储对树这种一对多的关系结构，实现起来是比较困难的，但也可以实现。先来看看完全二叉树的顺序存储，一棵完全二叉树如下图所示：
将这棵二叉树存入数组中相应的下标对应其同样的位置，如下图所示：
而二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，结构示意图如下：
1.8 二叉树的遍历
1.8.1 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
1.8.2 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
2. 二叉树遍历
- LeetCode 144. 二叉树的前序遍历
- LeetCode 145. 二叉树的后序遍历
- LeetCode 94. 二叉树的中序遍历
2.1 递归思路（完成下面下个问题，可以养成一个好的递归思路）
- 确定递归函数的参数和返回值：返回值void，因为我们把结果放在一个list集合中了，参数则是根节点和集合list，集合list是放遍历的结果
- 确定终止条件：因为是深度搜索，所以如果根节点遇到null就返回
- 确定单层递归的逻辑：以前序遍历举例，“根左右”的顺序，首先集合就要先add根节点的值；然后到左，就是向左遍历，就是递归调用函数，传参(左孩子，集合)；然后到右，就是向右遍历，就是递归调用函数，传参(右孩子，集合)
- 同理中序遍历就是“左根右”，后序遍历就是“左右根”
2.2 代码
// 前序遍历·递归·LC144_二叉树的前序遍历 class Solution { public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> result = new ArrayList<Integer>(); preorder(root, result); return result; } public void preorder(TreeNode root, List<Integer> result) { if (root == null) { return; } result.add(root.val); preorder(root.left, result); preorder(root.right, result); } } // 中序遍历·递归·LC94_二叉树的中序遍历 class Solution { public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> res = new ArrayList<>(); inorder(root, res); return res; } void inorder(TreeNode root, List<Integer> list) { if (root == null) { return; } inorder(root.left, list); list.add(root.val); // 注意这一句 inorder(root.right, list); } } // 后序遍历·递归·LC145_二叉树的后序遍历 class Solution { public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> res = new ArrayList<>(); postorder(root, res); return res; } void postorder(TreeNode root, List<Integer> list) { if (root == null) { return; } postorder(root.left, list); postorder(root.right, list); list.add(root.val); // 注意这一句 } }
3. LeetCode 144. 二叉树的前序遍历
3.1 非递归思路
- 编程里如何实现递归的逻辑呢？也是用栈这种数据结构的，因此使用迭代法模拟递归时也是用栈的
- 我们用栈模拟递归时，是把二叉树的根的左右孩子按“从右到左”的顺序放入栈中，因为这样出栈时才是“从左到右”，出栈时先把左的出栈了放入集合list中，再把出栈的元素的孩子按“从右到左”的顺序入栈，以此类推
- 由于根节点是先出栈的，所以呈现出的依然是“根左右”的顺序
3.2 代码
// 前序遍历顺序：中-左-右，入栈顺序：中-右-左 class Solution { public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> result = new ArrayList<>(); if (root == null){ return result; } Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); stack.push(root); while (!stack.isEmpty()){ TreeNode node = stack.pop(); result.add(node.val); if (node.right != null){ stack.push(node.right); } if (node.left != null){ stack.push(node.left); } } return result; } }
4. LeetCode 145. 二叉树的后序遍历
4.1 非递归思路
- 编程里如何实现递归的逻辑呢？也是用栈这种数据结构的，因此使用迭代法模拟递归时也是用栈的
- 在前序遍历的基础上，我们把根的左右孩子按“从左到右”的顺序先入栈，由于是根先出栈，那么此时出栈的顺序就是“根右左”，我们将集合翻转一下，就是“左右根”的顺序，那就是后序遍历的顺序了
4.2 代码
// 后序遍历顺序 左-右-中 入栈顺序：中-左-右 出栈顺序：中-右-左， 最后翻转结果 class Solution { public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> result = new ArrayList<>(); if (root == null){ return result; } Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); stack.push(root); while (!stack.isEmpty()){ TreeNode node = stack.pop(); result.add(node.val); if (node.left != null){ stack.push(node.left); } if (node.right != null){ stack.push(node.right); } } Collections.reverse(result); return result; } }
5. LeetCode 94. 二叉树的中序遍历
5.1 非递归思路
1. 由于中序遍历的特殊性无法在以上的代码作更改而实现，因此需要别的实现方法
2. 我们处理二叉树时有两步关键：访问节点和处理节点
- 访问节点：就是根据根节点一点一点访问
- 处理节点：就是放入集合中，按照我们输出的顺序
3. 由于我们的顺序是“左根右”，而我们先访问到的一定是根节点，因此我们设置一个指针，访问到的节点都先入栈，当我们遇到左孩子为空时就弹出该节点，右孩子为空时说明是叶子节点，就弹出该节点的父节点
4. 我们的循环终止条件就是指针和栈同时为空时就结束循环
5. 我们的终止是一路向左，左为空就先从栈里弹出一个元素，再到这个元素的右孩子，再一路向左，循环往复
5.2 代码
// 中序遍历顺序: 左-中-右 入栈顺序： 左-右 class Solution { public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> result = new ArrayList<>(); if (root == null){ return result; } Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; while (cur != null || !stack.isEmpty()){ if (cur != null){ stack.push(cur); cur = cur.left; }else{ cur = stack.pop(); result.add(cur.val); cur = cur.right; } } return result; } }
