《深入理解操作系统》个人用学习笔记。
0x00 Fractional binary numbers
❓ 什么是 
?
① "二进制点" 右边的部分代表2的小数次方。
② 代表有理数：
0x01 Representable Numbers
0x02 Limited range of numbers
二进制小数表示法的范围小于有符号整数表示法。
我们如何表示不同大小的实数？
❓ 用什么方法可以支持多种实数的算术运算呢？
0x03 IEEE Floating Point
0x04 Floating Point Representation
📚 IEEE754：根据国际标准IEEE（电器和电子工程协会）754 规定，任意一个二进制浮点数V可以表示成以下形式：
① 
表示符号位，当 s = 0，V 为正数；当s = 1， v为负数
② 
表示有效数字，大于等于1，小于2。
③ 
表示指数位
浮点数的位表示被划分为三个域：
① 一个单独的符号 
② 
位的指数域 
编码指数 
③ 
位的小数域 
编码有效数 
0x05 Precision options
单精度浮点格式，C语言中的 float 中，
域分别为 1位，k=8位，n=23位，产生一个32位的表示。
在双精度浮点格式，
分别为 1位，k=8位，n=32位，穿黑色呢过一个32位的表示。
……
0x06 “Normalized” Values - 规范化值
第一种情况 —— 规范化值：当指数域既不全是0，也不全为1时，这种情况就是规格化值 —— Normalized Values。
这种情况中，指数域被解释为表示 偏置（biased）形式的有符号整数。
也就是说，指数的值是 E = Exp - Bias
其中，e是无符号数，Bias 是一个等于 
的偏置值。
由于产生了指数的取值范围，所以对于单精度是 -126 ~ 127
而对于双精度是 -1022 ~ 1023。
0x07 Denormalized Values - 非规范化值
第二种情况 —— 非规范化值：当指数域为全为0时，所表示的数就是非规范化形式的。在这种情况下，指数值是 E = 1 - Bias，
而非有效的值是 M = f，也就是小数域的值，不包含隐含开头的1。
0x08 Special Values - 特殊数值
第三种情况 —— 特殊数值：指数域全为1的时出现，当小数域全为0时，得到的值表示无穷。
当 s = 0 时是正无穷，当 s = 1 时是负无穷。
如果我们对齐除0，无穷能够表示溢出的结果。
当小数域为非零时，结果值被称为 NaN （Not a Number ），即 "不是一个数" 。
一些运算的结果不能是实数或无穷，就会返回一个 NaN 值，
比如当计算 
或 
时。
0x09 Tiny Floating Point Example
八位浮点数表示法
与IEEE格式差不多，规范化值、非规范化值。
表示 0、NaN、无穷大。
0x0A Dynamic Range (Positive Only)
0x0B Distribution of Values - 数值示例
用假定的6位格式来表示，3的指数位，2的有效数位。偏置量 bias 为 
非格式化数 Denormalized 聚集在 0 附近。 我们在 close-up view 中只展示 -1.0 ~ +1.0 之间的数值。这样就能看的更清楚了。
两个零是特殊的非格式化数，可以观察到，这些数并不是均匀分布的 —— 它们在越靠近原点处越稠密。
0x0C Visualization: Floating Point Encodings - 浮点编码
0x0D Special Properties of the IEEE Encoding
0x0E Rounding
对于单精度，我们只有 23位的 frac 部分
如果有数字 x 需要超过 23位的 frac 部分，我们需要找到一个接近 x 的数字 x'
将一个金额数舍入到最接近的整数上，像偶数舍入（round-to-even），也被沉稳给像最近的值摄入（round-to-nearest），是默认的方式。
0x0F Floating Point Addition
0x10 FP Multiplication
0x11 Floating Point in C - C语言中的浮点
C提供了两种不同的浮点数据类型：float 和 double
当在 int、float 和 double 之间进行强制类型转换时，程序按照下面原则来转换数值和位模式（假设int是32位的）：
① double / float 转换成 int。 值将会向0截断，例如，1.999将被截断成1，而-1.999将转换成-1。
注意，这种行为和四舍五入是截然不同的。
② int 转换成 double：double 有更大的范围。
③ int 转换成 float：将会遵循四舍五入
0x12 Byte-Oriented Memory Organization
0x13 Word-Oriented Memory Organization
0x14 Byte Ordering
0x15 Representing Integers
0x16 IEEE754规定
📜 例子：
浮点数：5.5 - 10进制
二进制：101.1 → 1.011 * 2^2 → (-1) ^0 * 1.011 * 2^2
s=0 M=1.011 E=2
🔺 IEEE 754 规定：
对于32位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着8位是指数E，剩下的23位位有效数字M：
对于64位的浮点数，最高位1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位位有效数字M：
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。 前面说过， 1≤M<2 ，也就是说，M可以写成 1.xxxxxx 的形 式，其中xxxxxx表示小数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。 比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。 以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int） 这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的 取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真 实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E 是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
然后，指数E从内存中取出还可以再分成三种情况：
E不全为0或不全为1
这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前 加上第一位的1。 比如： 0.5（1/2）的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位， 则为1.0*2^(-1)，其解码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位 00000000000000000000000，则其二进制表示形式为
0 01111110 00000000000000000000000
E全为0
这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值， 有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为 0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
E全为1
这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；
参考资料：
Computer Systems: A Programmer's Perspective (3rd Edition)
