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二进制小数 - Fractional binary numbers
二进制小数 - Fractional binary numbers
❓ 什么是 
?
表示：
① "二进制点" 右边的部分代表2的小数次方。
② 代表有理数：
例子：
观察：
① 通过右移除以2（无符号）
② 通过左移乘以2
③ 形式为 
的数据刚好低于 
：
使用符号 
可表示的数字
限制条件一：
只能准确表示 
形式的数字，其他有理数有重复的为表示法。
限制条件二：
在 
位内只有一个二进制点的设置。
有限的数字范围。
有限的数字范围
二进制小数表示法的范围小于有符号整数表示法。
我们如何表示不同大小的实数？
❓ 用什么方法可以支持多种实数的算术运算呢？
IEEE754规定
📚 IEEE754：根据国际标准IEEE（电器和电子工程协会）754 规定，任意一个二进制浮点数V可以表示成以下形式：
① 
表示符号位，当 s = 0，V 为正数；当s = 1， v为负数
② 
表示有效数字，大于等于1，小于2。
③ 
表示指数位
编码：
① MSB s 是符号位 s
② esp 字段编码为 E（但不等于E）
③ frac 字段编码为M（但不等于M）
单精度：32位
双精度：64位
扩展精度：80位（仅因特尔）
规范化数值
当： 
和 
时。
指数被编码为一个有偏差的值。 
Exp：exp字段的无符号值
Bias = 
，其中 
是指数位数。
用隐含的前导1进行编码：
xxx.xxx ： farc字段的位数
当 frac = 000.0 时的最小值（
）
当 frac = 111...1 时最大（
）
"免费" 获得额外的 bit
规范编码实例：
Denormalized Values
条件： 
指数值：
（而不是 
）
用隐含的前导0进行编码的意义：
：bit of frac
案例：
代表零值
表示不同的值， +0 和 -0
最接近 0.0 的数字
等距
特殊值
条件：
案例：
表示无穷大（
）
溢出操作
正向反向都有
例如 
案例：
非数字（NaN）
表示不能确定数字值得情况
例如 
小浮点的例子：
八位浮点数表示法
首先符号位在最重要的位置上
接下来的四位数是指数，偏差为7
最后三位是 Frac
与IEEE格式的一般形式相同
规范化、非规范化
表示 0、NaN、无穷大
动态范围（仅正向）
值分布
类似IEEE的六位格式
e = 3个指数位
f = 2个分数位
Bias 为 
注意分布式如何向零点聚集的（趋近于0）
类似IEEE的六位格式
e = 3个指数位
f = 2个分数位
Bias 为 3
视觉化：浮点编码
IEEE 编码的特殊属性
FP零 与 整数零 相同
所有 bits = 0
几乎都可以使用无符号整数比较：
① 必须首先比较符号位
② 必须考虑 -0 = 0
③ 有问题的 NaNs —— 将大于任何其他值，比较时应该会产生什么结果？
④ 否则OK —— 变形 vs 统一化 统一化
舍入
对于单精度，我们只有 23位的 frac 部分
如果有数字 x 需要超过 23位的 frac 部分，我们需要找到一个接近 x 的数字 x'
将一个金额数舍入到最接近的整数上，像偶数舍入（round-to-even），也被沉稳给像最近的值摄入（round-to-nearest），是默认的方式。
浮点加法
假设 
精确值：
修正：
① 如果 
，将 
右移，增加 
② 如果 
，将 
左移 
位，将 
递减 
位
③ 如果 
超出范围，则溢出。
📜 例子：
浮点数：5.5 - 10进制
二进制：101.1 → 1.011 * 2^2 → (-1) ^0 * 1.011 * 2^2
s=0 M=1.011 E=2
🔺 IEEE 754 规定：
对于32位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着8位是指数E，剩下的23位位有效数字M：
对于64位的浮点数，最高位1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位位有效数字M：
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。 前面说过， 1≤M<2 ，也就是说，M可以写成 1.xxxxxx 的形 式，其中xxxxxx表示小数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。 比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。 以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int） 这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的 取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真 实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E 是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
然后，指数E从内存中取出还可以再分成三种情况：
E不全为0或不全为1
这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前 加上第一位的1。 比如： 0.5（1/2）的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位， 则为1.0*2^(-1)，其阶码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位 00000000000000000000000，则其二进制表示形式为
0 01111110 00000000000000000000000
E全为0
这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值， 有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为 0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
E全为1
这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；
参考资料：
Computer Systems: A Programmer's Perspective (3rd Edition)
