带你读《图解算法小抄》二十一、动态规划（5）https://developer.aliyun.com/article/1347959?groupCode=tech_library
10.最长递增子序列
1）题目描述
给定一个无序的整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度。
2）解题步骤
为了找到最长递增子序列的长度，我们可以使用动态规划的思想来解决问题。
- 定义状态：我们可以将问题转化为以每个元素为结尾的最长递增子序列的长度。令 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
- 初始状态：根据题目的约束，每个元素本身可以作为一个递增子序列，因此初始状态为 dp[i] = 1。
- 状态转移方程：对于第 i 个元素，我们需要找到所有在它之前的元素中小于它的元素 nums[j]，并且取它们的最大递增子序列长度加上 1。因此，状态转移方程为 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，其中 0 <= j < i。
- 最终解：问题的解即为所有 dp[i] 中的最大值。
下面是使用动态规划解决最长递增子序列问题的算法框架：
function lengthOfLIS(nums) { const n = nums.length; const dp = new Array(n).fill(1); for (let i = 1; i < n; i++) { for (let j = 0; j < i; j++) { if (nums[i] > nums[j]) { dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); } } } return Math.max(...dp); }
11.最长公共子序列
1）题目描述
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
2）解题步骤
为了找到最长公共子序列的长度，我们可以使用动态规划的思想来解决问题。
- 定义状态：我们可以将问题转化为对于每个字符对 (i, j)，text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。令 dp[i][j] 表示 text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
- 初始状态：根据题目的约束，当 i 或 j 为 0 时，意味着一个字符串为空，那么最长公共子序列的长度为 0。因此，初始状态为 dp[i][0] = 0 和 dp[0][j] = 0。
- 状态转移方程：对于每个字符对 (i, j)，如果 text1[i] 等于 text2[j]，那么它们必然属于最长公共子序列。因此，我们可以通过将 text1[i] 和 text2[j] 添加到已知的最长公共子序列的末尾来获得一个更长的公共子序列。即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。如果 text1[i] 不等于 text2[j]，则需要选择 text1 的前 i-1 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列，以及 text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j-1 个字符的最长公共子序列中的较大值。即 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
- 最终解：问题的解即为 dp[m][n]，其中 m 是 text1 的长度，n 是 text2 的长度。
下面是使用动态规划解决最长公共子序列问题的算法框架：
function longestCommonSubsequence(text1, text2) { const m = text1.length; const n = text2.length; const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0)); for (let i = 1; i <= m; i++) { for (let j = 1; j <= n; j++) { if (text1[i - 1] === text2[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; } else { dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } } return dp[m][n]; }
带你读《图解算法小抄》二十一、动态规划（7）https://developer.aliyun.com/article/1347956?groupCode=tech_library
