【动态规划刷题 3】不同路径&&不同路径 II

不同路径

62 . 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下示例 3：

输入：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3

输出：6

1.状态表示

dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。

2.状态转移方程

动态规划题，我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。

走到[i][j]位置时，根据题意，有两种情况：

1. 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
2. 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];

所以dp[i] 的值是这两种情况的方法总和：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

3. 初始化

从递推公式可以看出，我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列，

初始化比较繁琐，我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

1. i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
2. ii. 「下标的映射关系」。

在本题中「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

4. 填表顺序

填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。

5. 返回值

应该返回 dp[m][n] 的值。

代码：

  int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        dp[0][1]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

不同路径 II

63 . 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]

输出：2

解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。

从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

1.状态表示

dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。

2.状态转移方程

动态规划题，我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。

走到[i][j]位置时，根据题意，有两种情况：

1. 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
2. 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];
3. 但是当 某个位置出现障碍物时 ，比如在 [2][3] 位置上有障碍物，我们无法从[2][3] 走到 [3][3] 或者 [2][4]，所以dp[2][3] 的值为 0；

所以dp[i] 的值是 0 和：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

3. 初始化

从递推公式可以看出，我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列，

初始化比较繁琐，我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

1. i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
2. ii. 「下标的映射关系」。

在本题中「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

4. 填表顺序

填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。

5. 返回值

应该返回 dp[m][n] 的值。

代码：

 int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m=obstacleGrid.size();
        int n=obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
         dp[0][1]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(obstacleGrid[i-1][j-1]==1) dp[i][j]=0;
                else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }