1 数据结构与算法概述
1.1 数据结构
1.1.1 概述
数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率
。
1.1.2 划分
从关注的维度看,数据结构可以划分为数据的逻辑结构和物理结构,同一逻辑结构可以对应不同的存储结构。逻辑结构反映的是数据元素之间的逻辑关系,逻辑关系是指数据元素之间的前后间以什么形式相互关联,这与他们在计算机中的存储位置无关。逻辑结构包括:
集合:只是扎堆凑在一起,没有互相之间的关联
线性结构:一对一关联,队形
树形结构:一对多关联,树形
图形结构:多对多关联,网状
数据物理结构指的是逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式(也称为存储结构)。一般来说,一种数据结构的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构,常用的存储结构有顺序存储、链式存储、索引存储和哈希存储等。
顺序存储:用一组地址连续的存储单元依次存储集合的各个数据元素,可随机存取,但增删需要大批移动
链式存储:不要求连续,每个节点都由数据域和指针域组成,占据额外空间,增删快,查找慢需要遍历
索引存储:除建立存储结点信息外,还建立附加的索引表来标识结点的地址。检索快,空间占用大
哈希存储:将数据元素的存储位置与关键码之间建立确定对应关系,检索快,存在映射函数碰撞问题
1.1.3 程序中常见的数据结构
数组(Array):连续存储,线性结构,可根据偏移量随机读取,扩容困难
栈( Stack):线性存储,只允许一端操作,先进后出,类似水桶
队列(Queue):类似栈,可以双端操作。先进先出,类似水管
链表( LinkedList):链式存储,配备前后节点的指针,可以是双向的
树( Tree):典型的非线性结构,从唯一的根节点开始,子节点单向执行前驱(父节点)
图(Graph):另一种非线性结构,由节点和关系组成,没有根的概念,互相之间存在关联
堆(Heap):特殊的树,特点是根结点的值是所有结点中最小的或者最大的,且子树也是堆
散列表(Hash):源自于散列函数,将值做一个函数式映射,映射的输出作为存储的地址
1.2 算法
算法指的是基于存储结构下,对数据如何有效的操作,采用什么方式可以更有效的处理数据,提高数据运算效率。
数据的运算是定义在数据的逻辑结构上,但运算的具体实现要在存储结构上进行。一般涉及的操作有以下几种:
检索:在数据结构里查找满足一定条件的节点。
插入:往数据结构中增加新的节点,一般有一点位置上的要求。
删除:把指定的结点从数据结构中去掉,本身可能隐含有检索的需求。
更新:改变指定节点的一个或多个字段的值,同样隐含检索。
排序:把节点里的数据,按某种指定的顺序重新排列,例如递增或递减。
2 复杂度
2.1 时间复杂度
简单理解,为了某种运算而花费的时间,使用大写O表示。一般来讲,时间是一个不太容易计量的维度,而为了计
算时间复杂度,通常会估计算法的操作单元数量,而假定每个单元运行的时间都是相同的。因此,总运行时间和算
法的操作单元数量一般来讲成正比,最多相差一个常量系数。一般来讲,常见时间复杂度有以下几种:
1)常数阶O(1):时间与数据规模无关,如交换两个变量值
int i=1,j=2,k k=i;i=j;j=k;
2)线性阶O(n):时间和数据规模呈线性,可以理解为n的1次方,如单循环里的操作
for(i=1;i<=n;i++){ do(); }
3)k次方阶O(n^k ):执行次数是数量的k次方,如多重循环,以下为2次方阶实例
for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++){ do(); } }
4)指数阶O(2^n):随着n的上升,运算次数呈指数增长
for(i=1;i<= 2^n;i++){ do(); }
5)对数阶O(log2n)(以2为底n的对数,下同)
:执行次数呈对数缩减,如下
for(i=1;i<= 2^n;i++){ do(); }
6)线性对数阶O(log2n):在对数阶的基础上,进行线性n倍乘积
for(i=1;i<=2^n;i++){ for(j=1;j<=n;j++){ do(); } }
7)总结:
时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)(以2为底n的对数)
<Ο(n)<Ο(nlog2n)(以2为底n的对数)
<Ο(n^2)<...
<Ο (n^k ) <Ο(2^n)<Ο(n!)
2.2 空间复杂度
与时间复杂度类似,空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的度量。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的辅助空间。而空间复杂度主要指的是这部分空间的量级。
固定空间:主要包括指令空间、常量、简单变量等所占的空间,这部分空间的大小与运算的数据多少无关,属于静态空间。
可变空间:主要包括运行期间动态分配的临时空间,以及递归栈所需的空间等,这部分的空间大小与算法有很大关系。
同样,空间复杂度也用大写O表示,相比时间复杂度场景相对简单,常见级别为O(1)和O(n),以数组逆序为例,两
种不同算法对复杂度影响如下:
1)O(1):常数阶,所占空间和数据量大小无关。
//定义前后指针,和一个临时变量,往中间移动 //无论a多大,占据的临时空间只有一个temp int[] a={1,2,3,4,5}; int i=0,j=a.length‐1; while (i<=j){ int temp = a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=temp; i++; j‐‐; }
2)O(n):线性阶,与数据量大小呈线性关系
//定义一个和a同等大小的数组b,与运算量a的大小呈线性关系 //给b赋值时,倒序取a int[] a={1,2,3,4,5}; int[] b=new int[a.length]; for (int i = 0; i < a.length; i++) { b[i]=a[a.length‐1‐i]; }
2.3 类比
对于一个算法,其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。时间复杂度低可能借助占用大的存储空间来弥补,反之,某个算法所占据空间小,那么可能就需要占用更多的运算时间。两者往往需要达到一种权衡。
在特定环境下的业务,还需要综合考虑算法的各项性能,如使用频率,数据量的大小,所用的开发语言,运行的机器系统等。两者兼顾权衡利弊才能设计出最适合当前场景的算法。
3 算法思想
3.1 分而治之
把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题,直到最后子问题小到可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换),大数据中的MR,现实中如汉诺塔游戏。
分治法对问题有一定的要求:
该问题缩小到一定程度后,就可以轻松解决
问题具有可拆解性,不是一团无法拆分的乱麻
拆解后的答案具有可合并性。能组装成最终结果
拆解的子问题要相互独立,互相之间不存在或者很少有依赖关系
3.2 动态规划
基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序求解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能达到最优的局部解,丢弃其他。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解。
与分治法最大的不同在于,分治法的思想是并发,动态规划的思想是分步。该方法经分解后得到的子问题往往不是互相独立的,其下一个子阶段的求解往往是建立在上一个子阶段的解的基础上。动态规划算法同样有一定的适用性
场景要求:
最优化解:拆解后的子阶段具备最优化解,且该最优化解与追踪答案方向一致流程向前,无后效性:上一阶段的解决方案一旦确定,状态就确定,只会影响下一步,而不会反向影响
阶段关联:
上下阶段不是独立的,上一阶段会对下一阶段的行动提供决策性指导。这不是必须的,但是如果具备该特征,动态规划算法的意义才能更大的得到体现
3.3 贪心算法
同样对问题要求作出拆解,但是每一步,以当前局部为目标,求得该局部的最优解。那么最终问题解决时,得到完整的最优解。也就是说,在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择,而不去从整体最优上加以考虑。从这一角度来讲,该算法具有一定的场景局限性。
要求问题可拆解,并且拆解后每一步的状态无后效性(与动态规划算法类似)
要求问题每一步的局部最优,与整体最优解方向一致21。至少会导向正确的主方向。
3.4 回溯算法
回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程,在每一步的问题下,列举可能的解决方式。选择某个方案往深度探究,寻找问题的解,当发现已不满足求解条件,或深度达到一定数量时,就返回,尝试别的路径。
回溯法一般适用于比较复杂的,规模较大的问题。有“通用解题法”之称。问题的解决方案具备可列举性,数量有限界定回溯点的深度。达到一定程度后,折返
3.5 分支限界
与回溯法类似,也是一种在空间上枚举寻找最优解的方式。但是回溯法策略为深度优先。
分支法为广度优先。分支法一般找到所有相邻结点,先采取淘汰策略,抛弃不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从存活表中选择一个结点作为下一个操作对象。
4 总结
针对算法做了相应的回顾
算法的考量:时间与空间复杂度
算法的基本思想