多项式拟合实例

导入必要的模块

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge
from sklearn.metrics import mean_squared_error

生成数据

生成100个训练样本

# 设置随机种子
np.random.seed(34)

sample_num = 100

# 从-5到5中随机抽取100个浮点数
x_train = np.random.uniform(-5, 5, size=sample_num)

# 将x从shape为(sample_num,)变为(sample_num,1)
X_train = x_train.reshape(-1,1)

# 生成y值的实际函数
y_train_real = 0.5 * x_train ** 3 + x_train ** 2 + 2 * x_train + 1

# 生成误差值
err_train = np.random.normal(0, 5, size=sample_num)

# 真实y值加上误差值，得到样本的y值
y_train = y_train_real + err_train

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g', label='train dataset')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

生成测试集

# 设置随机种子
np.random.seed(12)

sample_num = 100

# 从-5到5中随机抽取100个浮点数
x_test = np.random.uniform(-5, 5, size=sample_num)

# 将x从shape为(sample_num,)变为(sample_num,1)
X_test = x_test.reshape(-1,1)

# 生成y值的实际函数
y_test_real = 0.5 * x_test ** 3 + x_test ** 2 + 2 * x_test + 1

# 生成误差值
err_test = np.random.normal(0, 5, size=sample_num)

# 真实y值加上误差值，得到样本的y值
y_test = y_test_real + err_test

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

问题：加入我们不知道生成样本的函数，如何用线性回归模型拟合这些样本？

多项式模型拟合

1阶线性模型拟合

# 线性回归模型训练
reg1 = LinearRegression()
reg1.fit(X_train, y_train)

# 模型预测
y_train_pred1 = reg1.predict(X_train)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g', label='train dataset')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred1[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

直线太过简单，不能很好地描述数据的变化关系。

3阶多项式模型拟合

使用到的api：

创建多项式特征sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures

用到的参数：

degree：设置多项式特征的阶数，默认2。

include_bias：是否包括偏置项，默认True。

使用fit_transform函数对数据做处理。

特征标准化sklearn.preprocessing.StandardScaler(减去均值除再除以标准差)

使用fit_transform函数对数据做处理。

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_train_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_train_poly)

# 线性回归模型训练
reg3 = LinearRegression()
reg3.fit(X_train_poly_scaled, y_train)

# 模型预测
y_train_pred3 = reg3.predict(X_train_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g', label='train dataset')

# 画出实际函数曲线
# plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred3[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

曲线拟合得非常不错。

10阶多项式模型拟合

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_train_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_train_poly)

# 线性回归模型训练
reg10 = LinearRegression()
reg10.fit(X_train_poly_scaled, y_train)

# 模型预测
y_train_pred10 = reg10.predict(X_train_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g', label='train dataset')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred10[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

曲线拟合得也还可以。

30阶多项式模型拟合

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_train_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_train_poly)

# 线性回归模型训练
reg30 = LinearRegression()
reg30.fit(X_train_poly_scaled, y_train)

# 模型预测
y_train_pred30 = reg30.predict(X_train_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g', label='train dataset')

# 画出实际函数曲线
# plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred30[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

曲线变得弯曲而复杂，把训练样本点的噪声变化也学习到了。

指标对比

# 计算MSE
mse1 = mean_squared_error(y_train_pred1, y_train)
mse3 = mean_squared_error(y_train_pred3, y_train)
mse10 = mean_squared_error(y_train_pred10, y_train)
mse30 = mean_squared_error(y_train_pred30, y_train)

# 打印结果
print('MSE:')
print('1 order polynomial: {:.2f}'.format(mse1))
print('3 order polynomial: {:.2f}'.format(mse3))
print('10 order polynomial: {:.2f}'.format(mse10))
print('30 order polynomial: {:.2f}'.format(mse30))

MSE:
1 order polynomial: 149.92
3 order polynomial: 24.32
10 order polynomial: 23.64
30 order polynomial: 15.05

训练集mse指标从好到坏的模型是：30阶多项式、10阶多项式、3阶多项式、1阶多项式。

测试集检验

1阶线性模型预测

# 模型预测
y_test_pred1 = reg1.predict(X_test)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred1[np.argsort(x_test)], color='r', label='1 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

3阶多项式模型预测

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_test_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_test_poly)

# 模型预测
y_test_pred3 = reg3.predict(X_test_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred3[np.argsort(x_test)], color='r', label='3 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

10阶多项式模型预测

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_test_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_test_poly)

# 模型预测
y_test_pred10 = reg10.predict(X_test_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred10[np.argsort(x_test)], color='r', label='10 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

30阶多项式模型预测

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_test_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_test_poly)

# 模型预测
y_test_pred30 = reg30.predict(X_test_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred30[np.argsort(x_test)], color='r', label='30 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

指标对比

# 计算MSE
mse1 = mean_squared_error(y_test_pred1, y_test)
mse3 = mean_squared_error(y_test_pred3, y_test)
mse10 = mean_squared_error(y_test_pred10, y_test)
mse30 = mean_squared_error(y_test_pred30, y_test)

# 打印结果
print('MSE:')
print('1 order polynomial: {:.2f}'.format(mse1))
print('3 order polynomial: {:.2f}'.format(mse3))
print('10 order polynomial: {:.2f}'.format(mse10))
print('30 order polynomial: {:.2f}'.format(mse30))

MSE:
1 order polynomial: 191.05
3 order polynomial: 39.71
10 order polynomial: 41.00
30 order polynomial: 85.45

测试集mse指标从好到坏的模型是：3阶多项式、10阶多项式、30阶多项式、1阶多项式。

欠拟合和过拟合

欠拟合（Underfitting）：选择的模型过于简单，以致于模型对训练集和未知数据的预测都很差的现象。

过拟合（Overfitting）：选择的模型过于复杂（所包含的参数过多），以致于模型对训练集的预测很好，但对未知数据预测很差的现象（泛化能力差）。

过拟合常见解决方法

增加训练样本数目

生成200个训练样本

# 设置随机种子
np.random.seed(34)

sample_num = 200

# 从-10到10中随机抽取200个浮点数
x_train = np.random.uniform(-10, 10, size=sample_num)

# 将x从shape为(sample_num,)变为(sample_num,1)
X_train = x_train.reshape(-1,1)

# 生成y值的实际函数
y_train_real = 0.5 * x_train ** 3 + x_train ** 2 + 2 * x_train + 1

# 生成误差值
err_train = np.random.normal(0, 5, size=sample_num)

# 真实y值加上误差值，得到样本的y值
y_train = y_train_real + err_train

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

30阶多项式模型训练

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_train_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_train_poly)

# 线性回归模型训练
reg30 = LinearRegression()
reg30.fit(X_train_poly_scaled, y_train)

# 模型预测
y_train_pred30 = reg30.predict(X_train_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred30[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

# 计算MSE
mse = mean_squared_error(y_train_pred30, y_train)
print('MSE: {}'.format(mse))

在这里插入图片描述

MSE: 24.924693781595153

30阶多项式模型预测

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_test_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_test_poly)

# 模型预测
y_test_pred30 = reg30.predict(X_test_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred30[np.argsort(x_test)], color='r', label='30 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

计算MSE

mse30 = mean_squared_error(y_test_pred30, y_test)

# 打印结果
print('MSE:')
print('30 order polynomial: {:.2f}'.format(mse30))

MSE:
30 order polynomial: 32.32

在目标函数中增加正则项

查看回归系数

将结果转换为pd.DataFrame表格形式

coef1 = pd.DataFrame(reg1.coef_, index=['w1'], columns=['coef'])
coef3 = pd.DataFrame(reg3.coef_, index=['w1', 'w2', 'w3'], columns=['coef'])
coef10 = pd.DataFrame(reg10.coef_, index=['w'+str(i) for i in range(1,11)], columns=['coef'])
coef30 = pd.DataFrame(reg30.coef_, index=['w'+str(i) for i in range(1,31)], columns=['coef'])

1阶多项式模型参数

coef1

coef

w1
9.900252

3阶多项式模型参数

coef3

coef

w1
7.789175

w2
7.000036

w3
25.295452

10阶多项式模型参数

coef10

coef

w1
7.998547

w2
4.203915

w3
20.728305

w4
15.694967

w5
10.679321

w6
-53.302415

w7
-5.051154

w8
72.956004

w9
-1.464603

w10
-32.583643

30阶多项式模型参数

coef30

coef

w1
1.274825e+01

w2
-1.515071e+02

w3
-2.784062e+02

w4
9.881947e+03

w5
8.313355e+03

w6
-2.294226e+05

w7
-1.443295e+05

w8
2.805398e+06

w9
1.540533e+06

w10
-2.094909e+07

w11
-1.036432e+07

w12
1.035820e+08

w13
4.594186e+07

w14
-3.558672e+08

w15
-1.390464e+08

w16
8.741809e+08

w17
2.938075e+08

w18
-1.558118e+09

w19
-4.373421e+08

w20
2.020758e+09

w21
4.563577e+08

w22
-1.888828e+09

w23
-3.264643e+08

w24
1.240156e+09

w25
1.523610e+08

w26
-5.429771e+08

w27
-4.173929e+07

w28
1.424089e+08

w29
5.084136e+06

w30
-1.693219e+07

模型太复杂（阶数过多），发生过拟合时，系数绝对值往往会很大，输入x的很小变化都可能带来输出y较大的变化，导致函数变化剧烈。

训练Ridge回归（加L2正则）

使用到的api：

加L2正则的线性回归sklearn.linear_model.Ridge

用到的参数：

alpha：惩罚项，默认1.0。

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_train_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_train_poly)

# 线性回归模型训练
ridge30 = Ridge(alpha=1e-5)
ridge30.fit(X_train_poly_scaled, y_train)

# 模型预测
y_train_pred30 = ridge30.predict(X_train_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_train, y_train, marker='o', color='g')

# 画出实际函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_real[np.argsort(x_train)], color='b', label='real curve')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_train), y_train_pred30[np.argsort(x_train)], color='r', label='prediction curve')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

# 计算MSE
mse = mean_squared_error(y_train_pred30, y_train)
print('MSE: {}'.format(mse))

在这里插入图片描述

MSE: 22.402223562860904

查看加正则后的回归系数

将结果转换为pd.DataFrame表格形式

coef30 = pd.DataFrame(ridge30.coef_, index=['w'+str(i) for i in range(1,31)], columns=['coef'])

coef30

coef

w1
10.011475

w2
3.557561

w3
-4.055929

w4
7.173610

w5
100.444037

w6
26.619616

w7
-75.014554

w8
-90.566477

w9
-182.926719

w10
-16.985565

w11
172.986261

w12
101.786157

w13
257.743919

w14
114.148735

w15
14.865358

w16
11.446063

w17
-256.410160

w18
-117.329198

w19
-313.210519

w20
-169.444870

w21
-113.923505

w22
-95.081604

w23
205.527433

w24
73.135599

w25
413.318846

w26
222.862257

w27
261.405747

w28
183.223254

w29
-458.772050

w30
-248.055649

模型检验

# 生成多项式数据
poly = PolynomialFeatures(degree=30, include_bias=False)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)

# 数据标准化（减均值除标准差）
scaler  = StandardScaler()
X_test_poly_scaled = scaler.fit_transform(X_test_poly)

# 模型预测
y_test_pred30 = ridge30.predict(X_test_poly_scaled)

# 画出样本的散点图
plt.scatter(x_test, y_test, marker='o', color='c', label='test dataset')

# 画出预测函数曲线
plt.plot(np.sort(x_test), y_test_pred30[np.argsort(x_test)], color='r', label='30 order')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在这里插入图片描述

计算MSE

mse30 = mean_squared_error(y_test_pred30, y_test)

# 打印结果
print('MSE:')
print('30 order polynomial: {:.2f}'.format(mse30))

MSE:
30 order polynomial: 28.80

三、欠拟合和过拟合

多项式拟合实例

导入必要的模块

生成数据

生成100个训练样本

生成测试集

多项式模型拟合

1阶线性模型拟合

3阶多项式模型拟合

10阶多项式模型拟合

30阶多项式模型拟合

指标对比

测试集检验

1阶线性模型预测

3阶多项式模型预测

10阶多项式模型预测

30阶多项式模型预测

指标对比

欠拟合和过拟合

过拟合常见解决方法

增加训练样本数目

生成200个训练样本

30阶多项式模型训练

30阶多项式模型预测

计算MSE

在目标函数中增加正则项

查看回归系数

训练Ridge回归（加L2正则）

查看加正则后的回归系数

模型检验

计算MSE

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三、欠拟合和过拟合

多项式拟合实例

导入必要的模块

生成数据

生成100个训练样本

生成测试集

多项式模型拟合

1阶线性模型拟合

3阶多项式模型拟合

10阶多项式模型拟合

30阶多项式模型拟合

指标对比

测试集检验

1阶线性模型预测

3阶多项式模型预测

10阶多项式模型预测

30阶多项式模型预测

指标对比

欠拟合和过拟合

过拟合常见解决方法

增加训练样本数目

生成200个训练样本

30阶多项式模型训练

30阶多项式模型预测

计算MSE

在目标函数中增加正则项

查看回归系数

训练Ridge回归（加L2正则）

查看加正则后的回归系数

模型检验

计算MSE

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