篇前小言
本篇文章是对查找（2）的续讲
二叉排序树
二叉排序树（Binary Search Tree，BST），又称为二叉查找树，是一种特殊的二叉树。
性质：
左子树的节点值小于根节点的值，右子树的节点值大于根节点的值：这是二叉排序树最基本的性质。对 于任意节点N，其左子树中的所有节点的值都小于N的值，而右子树中的所有节点的值都大于N的值。这 个性质决定了二叉排序树的有序性，使得我们可以通过比较节点值进行快速的插入、删除和查找操作。 中序遍历的结果是按序排列的序列：由于二叉排序树的左子树中的节点值都小于根节点的值，而右子树 中的节点值都大于根节点的值，所以中序遍历的结果是一个按序排列的序列。这使得二叉排序树可以实 现排序功能，将节点按值的大小进行有序存储。 对于任意节点，左子树和右子树也是二叉排序树：这个性质是递归地应用于每个节点的子树。由于左子 树中的节点值都小于根节点的值，右子树中的节点值都大于根节点的值，并且左子树和右子树都是二叉 排序树，因此这个性质得以满足。 不存在相同值的节点：在二叉排序树中，每个节点的值是唯一的。这是为了确保树的每个节点都可以通 过值进行唯一的标识和比较。 平均查找时间复杂度为O(log n)：由于二叉排序树的有序性质，当树是平衡的时候，即左右子树的高 度相差不大时，平均查找时间复杂度可以达到O(log n)。这是因为每次查找都是通过二分法来进行的， 每次可以将问题规模减半。但是如果二叉排序树是不平衡的，即左右子树的高度相差较大，可能会导致 查找性能下降，退化为线性查找（O(n)时间复杂度）。 可以支持插入、删除和查找操作：二叉排序树的性质使得它可以高效地支持插入、删除和查找操作。插 入操作按照节点值的大小，在合适的位置插入新节点。删除操作涉及到对不同情况进行处理，包括删除 叶子节点、删除只有一个子节点的节点以及删除有两个子节点的节点。查找操作可以通过比较给定值和 当前节点值的大小，递归地向左子树或右子树查找目标值。
特点
有序性：二叉排序树是一种有序的二叉树结构，它的左子树中的节点值都小于根节点的值，而右子树中 的节点值都大于根节点的值。这种有序性质使得二叉排序树在存储、查找和排序数据时具有很高的效率。 中序遍历有序：二叉排序树的中序遍历结果是一个按序排列的序列。即按照"左子树-根节点-右子树"的 顺序遍历二叉排序树的节点，可以得到一个按节点值升序排列的序列。这种特点使得二叉排序树可以用 于实现排序功能。 可以进行高效的插入、删除和查找操作：由于二叉排序树的有序性，插入、删除和查找操作可以在平均 情况下以O(log n)的时间复杂度完成。在插入操作中，根据节点值的大小，递归地插入新节点到合适的 位置。在删除操作中，根据节点值的大小，递归地删除指定节点。在查找操作中，根据节点值的大小， 递归地向左或向右查找目标节点。 不允许重复值：二叉排序树中的节点值是唯一的，不存在相同值的节点。这是为了确保树的每个节点都 可以通过值进行唯一的标识和比较。 可以支持快速的最小值和最大值查询：由于二叉排序树的有序性质，可以很快地找到最小值和最大值。 最小值位于树的最左边（最左子节点），而最大值位于树的最右边（最右子节点）。
优点
有序存储和排序功能：二叉排序树的节点存储是有序的，左子树中的节点值都小于根节点的值，而右子 树中的节点值都大于根节点的值。这使得二叉排序树可以通过中序遍历得到一个按节点值升序排列的序 列，实现了快速的排序功能。 高效的插入、删除和查找操作：由于二叉排序树的有序性，插入、删除和查找操作可以在平均情况下以 O(log n)的时间复杂度完成。在插入操作中，根据节点值的大小，在合适的位置递归地插入新节点。在 删除操作中，根据节点值的大小，在合适的位置递归地删除节点。在查找操作中，根据节点值的大小， 在合适的位置递归地查找目标节点。这使得二叉排序树非常适合存储和操作有序的数据集合。 快速的最小和最大值查询：由于二叉排序树的有序性特点，可以快速地找到最小值和最大值。最小值位 于树的最左边（最左子节点），而最大值位于树的最右边（最右子节点）。这对于需要频繁查找最小和 最大值的场景很有帮助。 灵活性：二叉排序树的节点结构简单且灵活，可以根据实际需求进行扩展，如增加额外的属性或方法。 这使得二叉排序树可以支持更复杂的操作和算法，满足不同场景的需求。 内存利用率高：二叉排序树在存储数据时，只需要存储节点的值和左右子树的指针，相较于其他数据结 构，它的内存占用较小。而且，由于平均查找时间复杂度为O(log n)，数据量越大，二叉排序树的优势 更加明显。
缺点
对于随机插入的数据，可能会导致树的不平衡：二叉排序树的性能高度依赖于树的平衡性。如果在插入 过程中不平衡地插入节点，可能会导致树的不平衡，使得树的深度增加，进而降低了效率。不平衡的树 可能会导致查找、插入和删除操作的时间复杂度由原来的O(log n)退化为O(n)，变成线性操作，降低 了性能。 效率受数据分布的影响：二叉排序树的效率受到数据分布的影响。如果数据按照有序的方式插入二叉排 序树中，比如按照升序或降序的顺序，可能会导致树的不平衡，进而降低效率。为了克服这个问题，可 以使用某些技术，如随机化插入或平衡二叉搜索树，来解决数据分布对效率的影响。 需要额外的内存空间：除了存储节点的值和左右子树的指针，二叉排序树还需要额外的内存空间来存储 节点的额外信息，如父指针。而一些其他数据结构，如数组，只需要连续的内存空间即可存储数据，没 有额外的空间开销。 不支持高效的范围查询：尽管二叉排序树可以快速找到最小值和最大值，并且支持单个元素的查找，但 对于范围查询（如查找在给定范围内的值）来说，并不是最优的数据结构。范围查询可能需要遍历的节 点数与树中元素的数量成比例，而不仅仅是与树的高度有关。如果需要高效地支持范围查询，可以考虑 使用其他数据结构，如平衡二叉搜索树的变种（如红黑树）或B树等。 难以处理重复值：二叉排序树的每个节点值是唯一的，不允许重复值的存在。如果需要支持重复值的存 储和操作，必须引入一些额外的机制，如在节点中存储计数信息，或者在节点左右子树中维护重复值的 集合。这会增加复杂性和实现难度。
实际应用
数据库索引：在关系型数据库中，二叉排序树经常被用作索引结构，以加快数据的查找速度。数据库表 中的某一列可以作为二叉排序树的键，通过构建二叉排序树来加速对表的查询操作。 字典和查找表：二叉排序树可以用于实现字典和查找表功能，其中关键字作为树的节点值，便于快速的 插入、删除和查找操作。这在文本编辑器、拼写检查器、自动补全功能等应用中非常有用。 文件系统和目录结构：文件系统和目录结构可以用二叉排序树来组织和管理文件和目录。文件名或目录 名作为树的节点值，通过二叉排序树可以快速地进行文件查找、插入和删除操作。 动态排名和统计：二叉排序树可以用于实现动态排名和统计功能。通过对节点进行适当的标记或调整， 可以快速找到某个节点的排名，或者统计某个范围内有多少个节点，方便计算和分析。 范围查询和区间搜索：尽管二叉排序树不是最优的数据结构来支持范围查询，但在某些情况下它仍然可 以用于处理范围查询和区间搜索。可以通过递归遍历树的方式，找到满足指定范围条件的节点。 数值集合操作：二叉排序树可以用于实现对数值集合进行操作，如合并集合、交集、差集等。树的节点 值可以表示数值，通过对树的遍历和操作，可以实现集合操作。
平衡二叉树
性质：
平衡性： 平衡二叉树的平衡性是指树中任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1。 这意味着对于每个节点，其左子树的高度和右子树的高度之差的绝对值不大于1。 平衡性是保持树的高度相对较低，从而确保树的操作性能高效的关键特性。 高度的上界和下界： 对于一个具有n个节点的平衡二叉树，其高度h满足以下条件： h <= log2(n+1) h >= log2(n) 这意味着平衡二叉树的高度上界是O(log n)，下界是O(log n)。 自平衡操作： 平衡二叉树通过自平衡操作来维持其平衡性。插入或删除节点时，如果导致某个节点的平衡因子大 于1或小于-1，就需要通过旋转或其他操作来调整树的结构。 一般来说，平衡二叉树的自平衡操作包括左旋、右旋、双旋等，以保持树的平衡状态。 查找操作： 平衡二叉树支持高效的查找操作。由于平衡二叉树的节点值有序排列，可以使用二分查找的方式在 O(log n)时间复杂度内完成查找。 插入和删除操作： 插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。添加一个节点时，树可能需要进行自平衡操作来 保持平衡性。 删除一个节点时，也可能需要进行自平衡操作。删除操作可能需要找到一个适当的替代节点来替 代被删除的节点。 局部性原理的优化： 平衡二叉树利用局部性原理进行优化，即通过在内存中存储相邻节点，减少磁盘I/O的次数，提高查询 性能。
特点
平衡性： 平衡二叉树的定义是指对于树中的每个节点，其左右子树的高度差（平衡因子）不超过1。 平衡因子定义为节点的左子树高度减去右子树的高度，平衡因子的绝对值不大于1。 通过保持平衡性，平衡二叉树可以避免出现树的高度差过大的情况，提供较好的平均查找性能。 快速的插入、删除和查找操作： 平衡二叉树的插入、删除和查找操作的平均时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。 平衡二叉树通过自平衡操作来维持平衡性，在插入或删除节点后，通过旋转操作恢复平衡。 自平衡操作的时间复杂度为O(1)，使得平衡二叉树的插入、删除和查找操作具有较好的性能。 自适应动态数据结构： 平衡二叉树适用于动态的数据集合，即在频繁插入和删除节点的情况下能够保持树的平衡性。 平衡二叉树通过自平衡操作，能够自动调整树的结构，使得树的高度保持相对较低，适应不断变化的数 据集合。 有序性操作支持： 平衡二叉树的节点按照某种顺序排列，一般是左子树节点值小于根节点，右子树节点值大于根节点的方 式。 这使得平衡二叉树可以支持快速的有序性操作，如范围查询、查找最小值和最大值等。 有序性操作在某些应用场景中非常重要，平衡二叉树提供了高效的实现方式。 自平衡的数据结构： 平衡二叉树是一种自平衡的数据结构，通过特定的自平衡操作来保持树的平衡性。 在插入和删除节点时，平衡二叉树可以通过旋转和调整操作保持树的平衡状态。 自平衡的特性使得平衡二叉树相对于非平衡的二叉搜索树，如普通二叉搜索树，更加稳定和可靠。
优点
快速的插入、删除和查找操作： 平衡二叉树的插入、删除和查找操作的平均时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。 平衡二叉树通过自平衡操作来维持平衡性，使得树的高度保持较低，从而提供快速的操作性能。 自平衡操作的时间复杂度为O(1)，因此，无论树的大小如何，插入、删除和查找操作的时间复杂度都保 持在对数级别。 自适应动态数据结构： 平衡二叉树适用于频繁插入和删除节点的动态数据集合。它可以在数据集合大小改变时自动调整树的结 构，维持平衡性。 自适应动态的特性使得平衡二叉树适用于场景中数据频繁变化的情况，如动态存储、实时数据处理等。 有序性操作支持： 平衡二叉树的节点按照某种顺序排列，一般是左子树节点值小于根节点，右子树节点值大于根节点的方 式。 有序性的排列使得平衡二叉树支持快速的有序性操作，如范围查询、查找最小值和最大值等。 有序性操作在某些应用场景中非常重要，平衡二叉树提供了高效的实现方式。 自平衡的数据结构： 平衡二叉树是一种自平衡的数据结构，通过特定的自平衡操作来保持树的平衡性。 自平衡的特性使得平衡二叉树相对于非平衡的二叉搜索树，如普通二叉搜索树，更加稳定和可靠。 在插入和删除节点时，平衡二叉树可以通过旋转和调整操作保持树的平衡状态，避免出现树的高度差过 大的情况。 高效的存储和查询： 平衡二叉树可以使用相对较少的额外存储空间来存储平衡因子，使得空间占用更低。 在平衡二叉树中，节点按照有序性排列，使得查询操作可以利用二分查找的方式，在较短时间内完成。
缺点
内存空间需求较大： 平衡二叉树需要在每个节点中保存额外的平衡因子信息，以及链接指向左子树和右子树的指针。 这样的额外信息和指针会占用更多的内存空间，相对于普通的二叉搜索树，平衡二叉树需要更大的存储 空间。 自平衡操作的复杂性： 平衡二叉树的自平衡操作需要在插入和删除节点时进行，以保持树的平衡性。 这些自平衡操作的实现可能较为复杂，需要额外的计算和判断，增加了代码的复杂性。 自适应调整的开销： 平衡二叉树在插入和删除节点时需要进行自平衡操作，以维持树的平衡性。 这些自平衡操作可能涉及到多次旋转、调整和重新连接节点，引入了一定的开销。 尽管自平衡操作的时间复杂度为O(1)，但实际上可能需要花费相对较长的时间执行。 不适合频繁修改的场景： 平衡二叉树适用于频繁的查询操作，但对于频繁的插入和删除操作，可能不是最佳选择。 在频繁修改的场景中，由于每次操作都需要进行自平衡操作，可能导致频繁的树结构调整，影响效率。 不适合大规模数据： 随着数据量的增加，平衡二叉树的自平衡操作会变得更加耗时，可能导致性能下降。 对于大规模数据集合，可能需要更高级的平衡二叉树变种，如B树、红黑树等。
实际应用
数据库索引结构： 平衡二叉树被广泛应用于数据库中的索引结构，如B+树和红黑树。 数据库中的索引用于快速查找和访问数据，平衡二叉树的有序性和快速的插入、删除、查询操作使其成 为理想的索引结构。 文件系统： 平衡二叉树经常用于文件系统中的目录结构，确保文件和目录的快速查找和访问。 文件系统中的目录和文件具有层次结构，平衡二叉树能够有效地组织和管理这种层次结构，提供高效的 文件访问。 编程语言中的集合和映射： 许多编程语言的标准库或第三方库中提供了平衡二叉树的实现，用于集合和映射等数据结构。 这些实现通常提供快速的插入、删除和查找操作，以及有序性的支持，满足了许多编程任务中的需求， 如排序、搜索等。 游戏开发： 平衡二叉树在游戏开发中有许多应用，如实现碰撞检测、空间划分、排序等。 平衡二叉树可以存储游戏中的对象，并支持高效的查找和更新操作，提供了快速的游戏性能。 排序和搜索算法： 平衡二叉树作为搜索和排序算法的基础结构，可以用于实现各种搜索和排序算法，如二分查找、中序遍 历等。 平衡二叉树的有序性和快速的插入、删除操作使其成为实现这些算法的有效选择。
