【数据结构】向上调整建堆和向下调整建堆的天壤之别以及堆排序算法

向上调整

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child > 0)
  {
  if (a[child] > a[parent])
  { 
    Swap(&a[child], &a[parent]);
    child = parent;
    parent = (child - 1) / 2;
  }
  else
  {
    break;
  }
  }
}

向上调整建堆

for (int i = 1; i < n; i++)
  {
  AdjustUp(a, i);
  }

向下调整

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
  if (child+1< n && a[child + 1] > a[child])
  {
    child++;
  }
  if (a[child] > a[parent])
  {
    Swap(&a[child], &a[parent]);
    parent = child;
    child = parent * 2 + 1;
  }
  else
  {
    break;
  }
  }
}

向下调整建堆

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
  {
  AdjustDown(a, n, i);
  }

两种方法的天壤之别

这两个建堆方法看似相同，实际却有着天壤之别。

具体的数值我们可以计算一下。

如图，二叉树的第h层有2^(h-1)个节点。

向下调整建堆最坏的情况就是每个节点都需要调整。

第一层有1个节点，最坏的情况是每个节点向下移动n-1层，次数就是1*(n-1)次。

第二层有2个节点，最坏的情况是每个节点向下移动n-2层，次数就是2*(n-2)次。

以此类推。。。

第n-2层有2^(n-3)个节点，最坏的情况是每个节点向下移动两层，次数就是2^(n-3)次.

第n-1层有2^(n-2)个节点，最坏的情况是每个节点向下移动一层，次数就是2^(n-2)次。

总共的计算次数就是f(h)=2^0*(n-1)+2^1*(n-2)+……+2^(h-3)*2+2*(n-2)*1次

这个数字我们可以用错位相减法计算出来。

最后得到的结果F(h）= 2^h -1 - h。

假设树的节点有N个。

那么根据公式，2 ^ h - 1= N。

把表达式往N上凑。

就得到F(N) = N - log(N+1)。

向下调整建堆的时间复杂度也就得出来了，log(N+1)的大小基本可忽略。

所以向下调整的时间复杂度是o(N)左右。

再来看向上调整建堆。

向上调整就没有这么优秀了。

假设树的高度是h,二叉树的最后一层就占了一半的节点。

我们仍旧按最坏的情况来算。

最后一层的每个节点都需要向上调整h-1次，光最后一层调整的次数就已经有2^(h-1)*(h-1)次了。

光看这一层可以看出差距。

上一条讲的向下调整的特点是节点多的层级调整的次数少，是少乘多。

而现在讲的向上调整恰恰相反。

节点多的层级调整的次数多，是多乘多，这就造成了时间复杂度的巨大差异。

同样来计算一下。

假设高度为h。

F(h)=2^1*1+2^2*2+……+2^(h-2)*h-2+2^(h-1)*(h-1)

同样使用错位相减，解得F(h) = 2^h * (h-2) + 2

因为 N = 2^h-1。

我们将F(h)换成关于N的式子，F(N) = (N+1) * (log(N+1) -2 ) + 2 。  

同样是忽略掉不重要的数据，它的时间复杂度大概是O(N*logN)。它的量级比向下调整大了很多。

所以一般情况下，我们建堆一般是用向下调整。

总结一下

建堆——向下调整建堆——时间复杂度：O(N)

建堆——向上调整建堆——时间复杂度：O(N*logN)

时间复杂度上向下调整建堆优秀很多，我们建堆一般就使用它。

堆排序

void HeapSort(int* a, int n)
{
  、
  //向下调整建堆
  for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
  {
  AdjustDown(a, n, i);
  }
//向下排序
  while (end>0)
  {
  Swap(&a[0], &a[end]);
  AdjustDown(a,end, 0);
  --end;
  }
}

将待排序序列构造成一个大堆

此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。

将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。

然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了

向下排序和上面向上调整建堆很像，时间复杂度都可以认为是O(N*logN)。