平衡二叉树的定义

Q：什么是二叉排序树

A：二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有如下性质的二叉树

1）若它的左子树不空，则 左子树 上所有结点的值 均小于 它的根结点的值

2）若它的右子树不空，则 右子树 上所有结点的值 均大于 它的根结点的值

3）左、右子树也分别是一棵二叉排序树

Q：什么是平衡二叉树

A：它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉排序树：它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子只可能是 -1，0，1。

平衡二叉树的插入

每当在二叉排序树中插入(或删除)一个结点时，首先要检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡。若导致了不平衡，则先找到路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点 A，再对以 A 为根的子树，在保持排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

平衡二叉树的插入过程的前半部分与二叉排序树相同，但在新结点插入后，若造成查找路上的某个结点不再平衡，则需要做出相应的调整。可将调整的规律归纳为下列4种情况：

LL平衡旋转(右单旋转)

由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点，A 的平衡因子由 1 增至 2 ，导致以 A 为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作，将 A 的左孩子 B 向右上旋转代替 A 成为根结点，将 A 结点向右下旋转成为 B 的右子树的根结点，而 B 的原右子树则作为 A 结点的左子树。

RR平衡旋转(左单旋转)

由于在结点 A 的右孩子(R)的右子树(R)上插入了新结点，A 的平衡因子由 −1 减至 −2,导致以 A 为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。将 A 的右孩子 B 向左上旋转代替 A 成为根结点，将 A 结点向左下旋转成为 B 的左子树的根结点，而 B 的原左子树则作为 A 结点的右子树的。

LR平衡旋转(先左后右双旋转)

在 A 的左孩子(L)的右子树(R)上插入新结点，A 的平衡因子由1增至2，导致以 A 为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。先将 A 结点的左孩子 B 的右子树的根结点 C 向左上旋转提升到 B 结点的位置，然后把该 C 结点向右上旋转提升到 A 结点的位置。

RL平衡旋转(先右后左双旋转)

由于在 A 的右孩子(R)的左子树(L)上插入新结点，A 的平衡因子由 −1减至 −2,导致以 A 为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。先将 A 结点的右孩子 B 的左子树的根结点 C 向右上旋转提升到 B 结点的位置，然后把该 C 结点向左上旋转提升到 A 结点的位置。

平衡二叉树的构建

假设关键字序列为{6，1，2，5，4，3}，通过该序列生成二叉排序树的过程如下：

第一步：创建一个空树

第二步：插入结点 6

第三步：插入结点 1

第四步：插入结点 2

第五步：LR旋转

第六步：插入结点 5

第七步：插入结点 4

第八步：LL旋转

第九步：插入结点 3

第十步：RL旋转

平衡二叉树的查找

在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树的相同。因此，在查找过程中，与给定值进行比较的关键字个数不超过树的深度。假设以 nh，表示深度为 h 的平衡树中含有的最少结点数。显然，nh有 n0=0,n1=1,n2=2, 并且有 nh=nh−1+nh−2+1。 可以证明，含有 n 个结点的平衡二叉树的最大深度为 O(log2⁡n),因此平衡二叉树的平均查找长度为 O(log2⁡n)。