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【数据结构】AVL树

2024-08-13 123
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简介： 【数据结构】AVL树

前言

在C++的STL标准库中的set、map、multiset和multimap的底层实现都是二叉搜索树。

而进行搜索数据的方式有：

  1. 暴力搜索。
  2. 二分搜索（缺陷：二分查找需要有序数组，伴随着插入，维护的成本较高）
  3. 二叉搜索树（缺陷：在极端场景下会退化成链表，其效率无法保证）
  4. 二叉平衡搜索树
  5. 多叉平衡搜索树：B树
  6. 哈希表

由于二叉搜索树的自身缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉树就会退化成为单支树，时间复杂度为O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构式对二叉树进行了平衡处理，及采用平衡树来实现。而AVL树的实现就是二叉平衡平衡树。

AVL树的概念

       二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但是如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成为单支树，查找元素相当于在顺序表里查找，效率低下。

       在1962年，俩位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果可以保证每一个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者式空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 其左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）

平衡因子的计算方式：平衡因子=右子树高度-左子树高度

AVL树的本质是高度平衡二叉搜索树，其二叉树只有在满二叉树的情况，平衡因子才会相等，否则进行增加与删除操作的时候，平衡因子肯定会被改变。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，其就是AVL树。

如果有n个节点，其高度可以保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

  • 当为满二叉树：2^h-1=N
  • AVL树：2^h-x= N(x的范围：1

AVL树的模拟实现

AVL树的基本框架

template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{
  //构造
  AVLTreeNode(const k& date)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    ,_kv(kv)
    ,_bf(0)
  {}
 
  AVLTreeNode<k, v>* _left;
  AVLTreeNode<k, v>* _right;
  AVLTreeNode<k, v>* _parent;
  pair<k,v> _kv;
  int _bf;//平衡因子
};
 
template<class k, class v>
class AVLTree
{
  typedef AVLTreeNode<k,v> Node;
  AVLTree()
    :_node(nullptr)
  {}
 
private:
  Node* _root;
};

AVL树的插入

       AVL树就是在二叉搜索树的基础之上引入了平衡因子，所以在插入节点的同时可以参考AVL树，然后通过结合平衡因子来解决问题。

其核心步骤分为三步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子
  3. 根据平衡因子观察是否达到平衡，如果没有则进行旋转。

插入新节点

  bool Insert(const pair<k,v>& kv)
  {
    //插入新节点
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node<kv>;
      return true;
    }
 
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur)
    {
      if (cur->_kv.first > kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else if (cur->_kv.first < kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
    cur = new Node<kv>;
    if (cur->_kv.first > kv.first)
    {
      parent->_left = cur;
    }
    else if (cur->_kv.first < kv.first)
    {
      parent->_right = cur;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
    cur->_parent = parent;
    //计算平衡因子
  }

平衡因子的计算

       当新的节点插入之后，AVL树的平衡性可能会被破坏，此时就需要更新破坏因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。

  • 平衡因子=右子树的高度-左子树的高度。

观察这棵已经是AVL树的每一个平衡因子，当cur插入之后，parent的平衡因子一定会被调整，在插入cur之前，parent的平衡因子一共会分成三种情况：-1/0/1。

当插入cur之后，可能出现的结果如下：

  1. 新增在左，parent的平衡因子减1。
  2. 新增在右，parent的平衡因子加1。
  3. 更新后parent的平衡因子==0，说明parent所在的子树高度不变，不会影响祖先，不用再继续沿着root的路径往上更新。
  4. 更新后parent的平衡因子==1 or ==-1，说明parent所在的子树高度变化，会对祖先造成影响，需要再继续沿着到root的路径往上更新。
  5. 更新后parent的平衡因子==2 or ==-2，说明parent所在的子树高度已经变化，并且不平衡，需要立刻对parent所在的子树进行旋转，让其平衡。
  6. 平衡因子向上更新到根节点——>插入结束。

我们在更新平衡因子的时候可以发现，平衡因子相当于是用于检测这棵AVL树的平衡的，平衡因子的区间是[-2,2]。

  bool Insert(const pair<k,v>& kv)
  {
    //插入新节点
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node<kv>;
      return true;
    }
 
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur)
    {
      if (cur->_kv.first > kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else if (cur->_kv.first < kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
    cur = new Node<kv>;
    if (cur->_kv.first > kv.first)
    {
      parent->_left = cur;
    }
    else if (cur->_kv.first < kv.first)
    {
      parent->_right = cur;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
    cur->_parent = parent;
    //更新平衡因子
    while (parent)
    {
      //第一、二步：更新parent的平衡因子
      if (cur == parent->_left)
      {
        parent->_bf--;
      }
      else if (cur == parent->_right)
      {
        parent->_bf++;
      }
      //第三步：更新后parent的平衡因子==0
      if (parent->_bf == 0)
      {
        break;
      }
      //第四步：更新后parent的平衡因子==1 or ==-1
      else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
      {
        cur = parent;
        parent = cur->_parent;
      }
      //第五步：更新后parent的平衡因子==2 or ==-1
      else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
      {
        //旋转
        break;
      }
      else
      {
        assert(false);
      }
    }
  }

AVL树的旋转

       在一棵原本是是AVL平衡树中插入一个节点，可能会造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡。

       根据节点的插入位置的不同，AVL树的旋转会分为4种：

  1. 新节点插入较高左子树的左侧——右单旋
  2. 新节点插入较高右子树的右侧——左单旋
  3. 新节点插入较高左子树的右侧——先左单旋再右单旋
  4. 新节点插入较高右子树的左侧——先右单旋再左单旋

下面将进行详细讲解：

首先，旋转之前需要注意的俩个问题：

  • 保持其是搜索树
  • 变成平衡树且降低这个子树的高度。
左单旋

在上述的情况中，h的可能值为0,1,2,3,4...，a，b，c是符合AVL树的子树。

当h==2的时候，a和b是x，y，z中的一种，c只能是z，然后在这种情况下，才会导致M、N之间的旋转。

在插入前的可能形状的组合：3*3*1=9种；新元素可能插入的位置存在4种；这样当h==2的时候，合计情况有36种。

【注意】我们在插入新元素之后，会导致parent的平衡因子成为2，cur的平衡因子成为1，在这种情况下，需要左单旋转操作。

在进行左单旋操作的核心操作是：

  1. 将b转移到M的右子树之下；
  2. 如果b不等于空，将b的父亲转换为M；如果b为空，则不进行操作；
  3. 将M转移到N的左子树之下；
  4. 记录M的父亲
  5. 将M的父亲转换为N；
  6. 将记录的N的原父转换为N的父亲；并判断M是原父的左子还是右子。

这里可以总结：需要进行改变的数据一共有：parent的parent的孩子的指向，parent的右孩子的指向，parent的父亲指向，cur的左孩子指向，cur的父亲指向，cur的左孩子的父亲指向。

代码展示：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
  Node* cur = parent->_right;
  Node* curleft = cur->_left;
 
  parent->_right = curleft;
  if (curleft)
  {
    curleft->_parent = parent;
  }
  cur->_left = parent;
  Node* pparent = parent->_parent;
  parent->_parent = cur;
  if (pparent == nullptr)
  {
    _root = cur;
    cur->_parent = nullptr;
  }
  else
  {
    if (pparent->_left == parent)
    {
      pparent->_left = cur;
    }
    else //if(pparent->_right == parent)
    {
      pparent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = pparent;
  }
  parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

 

右单旋

右单旋与左单旋的方式类似，方式如图：

代码展示：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
  Node* cur = parent->_left;
  Node* curright = cur->_right;
  parent->_left = curright;
  if (curright)
  {
    curright->_parent = parent;
  }
  cur->_right = parent;
  Node* pparent = parent->_parent;
  parent->_parent = cur;
  if (pparent == nullptr)
  {
    _root = cur;
    cur->_parent = nullptr;
  }
  else
  {
    if (pparent->_left == parent)
    {
      pparent->_left = cur;
    }
    else
    {
      pparent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = pparent;
  }
  parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
右左旋转

       在了解完左单旋和右单选之后，我们基本对这俩种单旋转方式有了基本的认识，这俩种单旋的方式都是直线插入的，而在进行折线插入的时候需要实现另外一种方法。

【注意】我们可以在c位置的左子树位置或右子树位置添加节点。

当h==2的时候：

a和d是x，y，z中的任意一棵子树，c只能是z这棵子树；

这样合计下来：一共有3*3*4=36种情况。（3*3是a，d之前的组合；4是当h等于2的时候，可以新增的数据个数）。

此时可以发现，使用单旋的方式已经不能解决问题，需要使用双旋转的方式来解决问题：

  1. 以60为旋转点，进行右单旋转
  2. 以30为旋转点，进行左单旋转

右左双旋转的结果本质上是：

  • 60为根
  • 60的左边是30
  • 60的右边是90
  • 60的左边给了30的右边
  • 60的右边给了30的左边

通过对图例的了解，当h==0的时候，60的左右子树都为空，即60是新增的元素；当h>0的时候，在60的左子树或者60的右子树新增元素，才会构成右左旋转。

处理节点的平衡因子的时候，可以将平衡因子分成3份，判断的主要条件是60在旋转之前的的平衡因子：

  • 当60旋转之前的平衡因子为0，则旋转之后30，60，90的平衡因子都为0；
  • 当60旋转之前的平衡因子为1，则旋转之后60，90的平衡因子为0，30的平衡因子为-1；
  • 当60旋转之前的平衡因子为-1，则旋转之后60，30的平衡因子为0，90的平衡因子为1；

则进行代码展示：

  //左右旋转
  void RotateLR(Node* parent)
  {
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curright = cur->_right;
    int bf = curright->_bf;
 
    RotateL(cur);
    RotateR(parent);
 
    if (bf == 0)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = -1;
      cur->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 1;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
  }

 

左右旋转

左右旋转与右左旋转的思路相同，即：先对30进行左单选，然后再对90进行右单旋，旋转之后考虑平衡因子的更新。

处理节点的平衡因子的时候，可以将平衡因子分成3份，判断的主要条件是60在旋转之前的的平衡因子：

  • 当60旋转之前的平衡因子为0，则旋转之后30，60，90的平衡因子都为0；
  • 当60旋转之前的平衡因子为1，则旋转之后30，60的平衡因子为0，30的平衡因子为-1；
  • 当60旋转之前的平衡因子为-1，则旋转之后60，90的平衡因子为0，90的平衡因子为1；

则进行代码展示：

//右左旋转
void RotateRL(Node* parent)
{
  Node* cur = parent->_right;
  Node* curleft = cur->_left;
  int bf = curleft->_bf;
 
  RotateR(cur);
  RotateL(parent);
 
  if (bf == 0)
  {
    curleft->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
    cur->_bf = 0;
  }
  else if (bf == 1)
  {
    curleft->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
    cur->_bf = -1;
  }
  else if (bf == -1)
  {
    curleft->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
    cur->_bf = 1;
  }
  else
  {
    assert(false);
  }
}

AVL树的验证

      AVL树由于是再二叉搜索树的基础之上加入了平衡性的因素，因此如果需要验证AVL树，可以分为俩步：

1.验证是否为二叉搜索树：

如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就可以说明是二叉搜索树。

2.验证是否为平衡树

  • 每一个节点子树的高度差的绝对值不会超过1（注意节点中如果没有平衡因子）
  • 节点的平衡因子的计算是否正确
  int Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return 0;
    }
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);
 
    return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  }
 
  bool IsBalance()
  {
    return IsBalance(_root);
  }
 
  bool IsBalance(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return true;
    }
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);
 
    if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
    {
      cout << "平衡因子异常：" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
      return false;
    }
    
    return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
      && IsBalance(root->_left)
      && IsBalance(root->_right);
        
  }

 

AVL树的删除

       由于AVL树也是二叉搜索树，可以按照二叉搜索树的方式将节点删除，步骤如下：

  1. 按照搜索树的规则查找节点删除
  2. 更新平衡因子，当cur为0的时候，更新parent的平衡因子
  3. 出现异常旋转。

AVL树的性能

       AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，要求每一个节点的左右子树高度之差的绝对值不能超过1，这样可以保证在查询的时候具有高效性，时间复杂度为logN。

       但是对于AVL树的一些结构修改的操作性能是非常低的，就比如：插入时需要维护其平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除的时候，有可能一直让旋转持续到根的位置。

代码展示

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
 
template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{
  //构造
  AVLTreeNode(const pair<k,v>& kv)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    ,_kv(kv)
    ,_bf(0)
  {}
 
  AVLTreeNode<k, v>* _left;
  AVLTreeNode<k, v>* _right;
  AVLTreeNode<k, v>* _parent;
  pair<k,v> _kv;
  int _bf;//平衡因子
};
 
template<class k, class v>
class AVLTree
{
public:
  typedef AVLTreeNode<k,v> Node;
  AVLTree()
    :_root(nullptr)
  {}
 
  bool Insert(const pair<k,v>& kv)
  {
    //插入新节点
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node(kv);
      return true;
    }
 
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur)
    {
      if (cur->_kv.first > kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else if (cur->_kv.first < kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first > kv.first)
    {
      parent->_left = cur;
    }
    else if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
      parent->_right = cur;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
    cur->_parent = parent;
    //更新平衡因子
    while (parent)
    {
      //第一、二步：更新parent的平衡因子
      if (cur == parent->_left)
      {
        parent->_bf--;
      }
      else if (cur == parent->_right)
      {
        parent->_bf++;
      }
      //第三步：更新后parent的平衡因子==0
      if (parent->_bf == 0)
      {
        break;
      }
      //第四步：更新后parent的平衡因子==1 or ==-1
      else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
      {
        cur = parent;
        parent = cur->_parent;
      }
      //第五步：更新后parent的平衡因子==2 or ==-1
      else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
      {
        //旋转
        if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
        {
          RotateL(parent);
        }
        else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
        {
          RotateR(parent);
        }
        else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
        {
          RotateRL(parent);
        }
        else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
        {
          RotateLR(parent);
        }
        break;
      }
      else
      {
        assert(false);
      }
    }
    return true;
  }
  //左单旋
  void RotateL(Node* parent)
  {
    Node* cur = parent->_right;
    Node* curleft = cur->_left;
 
    parent->_right = curleft;
    if (curleft)
    {
      curleft->_parent = parent;
    }
    cur->_left = parent;
    Node* pparent = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;
    if (pparent == nullptr)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (pparent->_left == parent)
      {
        pparent->_left = cur;
      }
      else //if(pparent->_right == parent)
      {
        pparent->_right = cur;
      }
      cur->_parent = pparent;
    }
    parent->_bf = cur->_bf = 0;
  }
  //右单旋
  void RotateR(Node* parent)
  {
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curright = cur->_right;
    parent->_left = curright;
    if (curright)
    {
      curright->_parent = parent;
    }
    cur->_right = parent;
    Node* pparent = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;
    if (pparent == nullptr)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (pparent->_left == parent)
      {
        pparent->_left = cur;
      }
      else
      {
        pparent->_right = cur;
      }
      cur->_parent = pparent;
    }
    parent->_bf = cur->_bf = 0;
  }
  //左右旋转
  void RotateLR(Node* parent)
  {
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curright = cur->_right;
    int bf = curright->_bf;
 
    RotateL(cur);
    RotateR(parent);
 
    if (bf == 0)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = -1;
      cur->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
      curright->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 1;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
  }
  //右左旋转
  void RotateRL(Node* parent)
  {
    Node* cur = parent->_right;
    Node* curleft = cur->_left;
    int bf = curleft->_bf;
 
    RotateR(cur);
    RotateL(parent);
 
    if (bf == 0)
    {
      curleft->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      curleft->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = -1;
    }
    else if (bf == -1)
    {
      curleft->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      cur->_bf = 1;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
  }
 
  int Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return 0;
    }
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);
 
    return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  }
 
  bool IsBalance()
  {
    return IsBalance(_root);
  }
 
  bool IsBalance(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return true;
    }
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);
 
    if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
    {
      cout << "平衡因子异常：" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
      return false;
    }
    
    return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
      && IsBalance(root->_left)
      && IsBalance(root->_right);
        
  }
private:
  Node* _root;
};


文章标签：
C++
容器
关键词：
数据结构avl
数据结构avl树
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