本文首发于“生信补给站”公众号 https://mp.weixin.qq.com/s/0-9zUTxZC6qefyjLyw1SSA
一维数组
分析结果：
- 1, 2, 3 的总和是 6
- 在轴 0(只有一个轴) 上的元素求和是 6
用代码验证一下：
arr = np.array([1,2,3])print( 'The total sum is', arr.sum() )print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )
The total sum is 6 The sum on axis0 is 6
求和一维数组没什么难度，而且也看不出如果「按轴求和」的规律。下面看看二维数组。
二维数组
分析结果：
- 1 到 6 的总和是 6
- 轴 0 上的元素 (被一个红方括号[]包住的) 是[1, 2, 3]和[4, 5, 6]，求和得到[[5, 6, 7]]
- 轴 1 上的元素 (被两个蓝方括号[] 包住的) 分别是 1, 2, 3 和 4, 5, 6，求和得到 [[1+2+3, 4+5+6]]=[[6, 15]]
用代码验证一下：
arr = np.arange(1,7).reshape((2,3))print( arr )
[[1 2 3] [4 5 6]]
print( 'The total sum is', arr.sum() )print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )
The total sum is 21 The sum on axis0 is [5 7 9] The sum on axis1 is [ 6 15]
结果是对的，但是好像括号比上图推导出来的少一个。原因np.sum()里面有个参数是 keepdims，意思是「保留维度」，默认值时 False，因此会去除多余的括号，比如 [[5, 7, 9]] 会变成 [5, 7, 9]。
如果把 keepdims 设置为 True，那么打印出来的结果和上图推导的一模一样。
print( arr.sum(axis=0, keepdims=True) )print( arr.sum(axis=1, keepdims=True) )
[[5 7 9]] [[ 6] [15]]
三维数组
分析结果：
- 1 到 12 的总和是 78
- 轴 0 上的元素是一个红方括号[] 包住的两个[[ ]]，对其求和得到一个[ [[ ]] ]
- 轴 1 上的元素是两个蓝方括号[] 包住的两个[ ]，对其求和得到两个[[ ]]，即 [ [[ ]],[[ ]]]
- 轴 2 上的元素是四个绿方括号[] 包住的三个标量，对其求和得到四个[]，即 [ [[ ],[ ]], [[ ],[ ]] ]
用代码验证一下：
arr = np.arange(1,13).reshape((2,2,3))print(arr)
[[[ 1 2 3] [ 4 5 6]] [[ 7 8 9] [10 11 12]]]
print( 'The total sum is', arr.sum() )print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )print( 'The sum on axis2 is', arr.sum(axis=2) )
The total sum is 78 The sum on axis0 is [[ 8 10 12] [14 16 18]] The sum on axis1 is [[ 5 7 9] [17 19 21]] The sum on axis2 is [[ 6 15] [24 33]]
打印出来的结果比上图推导结果少一个括号，也是因为 keepdims 默认为 False。
四维数组
不解释了，彩色括号画的人要抓狂了。通用规律：当在某根轴上求和，明晰该轴的元素，再求和。具体说来：
- 在轴 0上求和，它包含是两个[]，对其求和
- 在轴 1 上求和，它包含是两个 []，对其求和
- 在轴 2 上求和，它包含是两个 []，对其求和
- 在轴 3 上求和，它包含是三个标量，对其求和
用代码验证一下：
arr = np.arange(1,25).reshape((2,2,2,3))print(arr)
[[[[ 1 2 3] [ 4 5 6]] [[ 7 8 9] [10 11 12]]] [[[13 14 15] [16 17 18]] [[19 20 21] [22 23 24]]]]
print( 'The total sum is', arr.sum() )print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )print( 'The sum on axis2 is', arr.sum(axis=2) )print( 'The sum on axis3 is', arr.sum(axis=3) )
The total sum is 300 The sum on axis0 is [[[14 16 18] [20 22 24]] [[26 28 30] [32 34 36]]] The sum on axis1 is [[[ 8 10 12] [14 16 18]] [[32 34 36] [38 40 42]]] The sum on axis2 is [[[ 5 7 9] [17 19 21]] [[29 31 33] [41 43 45]]] The sum on axis3 is [[[ 6 15] [24 33]] [[42 51] [60 69]]]
打印出来的结果比上图推导结果少一个括号，也是因为 keepdims 默认为 False。
小节
除了 sum 函数，整合函数还包括 min, max, mean, std 和 cumsum，分别是求最小值、最大值、均值、标准差和累加，这些函数对数组里的元素整合方式和 sum 函数相同，就不多讲了。总结来说我们可以对数组
- 所有的元素整合
- 在某个轴 (axis) 上的元素整合
整合函数= {sum, min, max, mean, std,cumsum}
5.4 广播机制计算
当对两个形状不同的数组按元素操作时，可能会触发「广播机制」。具体做法，先适当复制元素使得这两个数组形状相同后再按元素操作，两个步骤：
- 广播轴 (broadcast axis)：比对两个数组的维度，将形状小的数组的维度 (轴) 补齐
- 复制元素：顺着补齐的轴，将形状小的数组里的元素复制，使得最终形状和另一个数组吻合
在给出「广播机制」需要的严谨规则之前，我们先来看看几个简单例子。
例一：标量和一维数组
arr = np.arange(5)print( arr )print( arr + 2 )
[0 1 2 3 4] [2 3 4 5 6]
元素 2 被广播到数组 arr 的所有元素上。
例二：一维数组和二维数组
arr = np.arange(12).reshape((4,3))print( arr )print( arr.mean(axis=0) )print( arr - arr.mean(axis=0) )
[[ 0 1 2] [ 3 4 5] [ 6 7 8] [ 9 10 11]] [4.5 5.5 6.5] [[-4.5 -4.5 -4.5] [-1.5 -1.5 -1.5] [ 1.5 1.5 1.5] [ 4.5 4.5 4.5]]
沿轴 0 的均值的一维数组被广播到数组 arr 的所有的行上。
现在我们来看看「广播机制」的规则：
广播机制的规则
知识点
当我们对两个数组操作时，如果它们的形状
- 不相容 (incompatible)，广播机制不能进行
- 相容 (compatible)，广播机制可以进行
因此，进行广播机制分两步
- 检查两个数组形状是否兼容，即从两个形状元组最后一个元素，来检查
-
- 它们是否相等
- 是否有一个等于 1
- 它们是否相等
- 一旦它们形状兼容，确定两个数组的最终形状。
例三：维度一样，形状不一样
用个例子来应用以上广播机制规则
a = np.array([[1,2,3]])b = np.array([[4],[5],[6]])print( 'The shape of a is', a.shape )print( 'The shape of b is', b.shape )
The shape of a is (1, 3) The shape of b is (3, 1)
回顾进行广播机制的两步
- 检查数组 a 和 b 形状是否兼容，从两个形状元组 (1, 3) 和 (3, 1)最后一个元素开始检查，发现它们都满足『有一个等于 1』的条件。
- 因此它们形状兼容，两个数组的最终形状为 (max(1,3), max(3,1)) = (3, 3)
到此，a 和 b 被扩展成 (3, 3) 的数组，让我们看看 a + b 等于多少
c = a + bprint( 'The shape of c is', c.shape )print( 'a is', a )print( 'b is', b )print( 'c = a + b =', c )
The shape of c is (3, 3) a is [[1 2 3]] b is [[4] [5] [6]] c = a + b = [[5 6 7] [6 7 8] [7 8 9]]
例四：维度不一样
a = np.arange(5)b = np.array(2)print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b is', b.ndim, 'and the shape of b is', b.shape )
The dimension of a is 1 and the shape of a is (5,) The dimension of b is 0 and the shape of b is ()
数组 a 和 b 形状分别为 (5,) 和 ()，首先我们把缺失的维度用 1 补齐得到 (5,) 和 (1,)，再根据广播机制那套流程得到这两个形状是兼容的，而且最终形状为 (5,)。
用代码来看看 a + b 等于多少
c = a + bprint( 'The dimension of c is', c.ndim, 'and the shape of c is', c.shape, '\n' )print( 'a is', a )print( 'b is', b )print( 'c = a + b =', c )
The dimension of c is 1 and the shape of c is (5,) a is [0 1 2 3 4] b is 2 c = a + b = [2 3 4 5 6]
现在对广播机制有概念了吧，来趁热打铁搞清楚下面这五个例子，你就完全弄懂它了。
a = np.array( [[[1,2,3], [4,5,6]]] )b1 = np.array( [[1,1,1], [2,2,2], [3,3,3]] )b2 = np.arange(3).reshape((1,3))b3 = np.arange(6).reshape((2,3))b4 = np.arange(12).reshape((2,2,3))b5 = np.arange(6).reshape((2,1,3))print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b1 is', b.ndim, 'and the shape of b1 is', b1.shape, '\n')print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b2 is', b.ndim, 'and the shape of b2 is', b2.shape, '\n' )print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b3 is', b.ndim, 'and the shape of b3 is', b3.shape, '\n' )print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b4 is', b.ndim, 'and the shape of b4 is', b4.shape, '\n' )print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )print( 'The dimension of b5 is', b.ndim, 'and the shape of b5 is', b5.shape )
The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3) The dimension of b1 is 0 and the shape of b1 is (3, 3) The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3) The dimension of b2 is 0 and the shape of b2 is (1, 3) The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3) The dimension of b3 is 0 and the shape of b3 is (2, 3) The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3) The dimension of b4 is 0 and the shape of b4 is (2, 2, 3) The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3) The dimension of b5 is 0 and the shape of b5 is (2, 1, 3)
对于数组 a 和 b1，它们形状是 (1, 2, 3) 和 (3, 3)。元组最后一个都是 3，兼容；倒数第二个是 3 和 2，即不相等，也没有一个是 1，不兼容！a 和 b1 不能进行广播机制。不行就看看下面代码：
c1 = a + b1print( c1 )print( c1.shape )
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (1,2,3) (3,3)
a 和其他 b2, b3, b4, b5 都可以进行广播机制，自己分析吧。
c2 = a + b2print( c2 )print( c2.shape )
[[[1 3 5] [4 6 8]]] (1, 2, 3)
c3 = a + b3print( c3 )print( c3.shape )
[[[ 1 3 5] [ 7 9 11]]] (1, 2, 3)
c4 = a + b4print( c4 )print( c4.shape )
[[[ 1 3 5] [ 7 9 11]] [[ 7 9 11] [13 15 17]]] (2, 2, 3)
c5 = a + b5print( c5 )print( c5.shape )
[[[ 1 3 5] [ 4 6 8]] [[ 4 6 8] [ 7 9 11]]] (2, 2, 3)
6总结
NumPy 篇终于完结！即上贴讨论过的数组创建、数组存载和数组获取，本贴讨论了数组变形、数组计算。
数组变形有以下重要操作：
- 改变维度的重塑和打平
- 改变分合的合并和分裂
- 复制本质的重复和拼接
- 其他排序插入删除复制
数组计算有以下重要操作：
- 元素层面：四则运算、函数，比较
- 线性代数：务必弄懂点乘函数 dot()
- 元素整合：务必弄懂轴这个概念！
- 广播机制：太重要了，神经网络无处不在！
下篇讨论用于科学计算的 SciPy。Stay Tuned!
