前言
题目
给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。
大多数人上来会想到这两种方法：1. 遍历，时间复杂度O(N)2. 排序(O(NlogN))，利用二分查找: logN
但是第一种效率太低了，需要一个一个遍历比对，第二种排序内存无法装得下40亿个整数数据啊！
可以发现问题是需要判断此无符号整数在不在集合中，我们可以用一个数对应一个比特位来标识，42亿个数据换算比特位进行存储，也就是需要0.5GB，512MB内存申请是没有压力的。
下面来学习一下位图法以及相关应用面试题和布隆过滤器知识。
一 位图
1.位图法介绍
位图法是一种利用每一位来存放某种状态的数据结构，适用于大规模数据的快速查找、判重、排序等。在位图法中，一个int类型的数据占用4个字节，即32个bit位，可以表示0-31的数是否存在。
位图申请内存
在内存中我们肯定是不能按照bit位来申请内存的，这不符合内存管理的机制，最小申请的内存也是1byte（字节），即8个bit位。所以在位图里面我们就开出来一个个的char，用每个char的比特位来直接对应数字。
意思是，在位图中，我们不能单独申请一个bit位来存放一个数字的状态，而是要申请一个char类型的数据，即8个bit位，然后用这8个bit位来表示8个数字是否存在。比如，如果我们要表示数字0-7是否存在，我们就可以申请一个char类型的数据a，然后用a的每一位来对应一个数字。如果a的第0位为1，表示数字0存在；如果a的第1位为1，表示数字1存在；以此类推。
2.位图实现的细节
我们这里讲解位图的三个主要功能函数：
- set():置位函数，将指定的位设置为1
- reset():复位函数，将指定位设置为0
- test(): 访问函数，获取指定的位的值
对于set，想要让某一比特位变为1其他位不变，则可以用1按位或对应的比特位，那就只需让1向高位移动j位，然后用位图中对应的char进行按位或等即可。
这句话的意思是，如果我们想要把一个char类型的数据a的第j位设置为1，我们可以先把1左移j位，得到一个只有第j位为1其他位为0的数b，然后把a和b进行按位或运算，得到一个新的数c，这个数c就是把a的第j位设置为1后的结果。因为按位或运算的规则是，只要有一个为1就为1，所以a的其他位不会被改变，只有第j位会被设置为1。
例如，如果我们想要把a=0010 1000的第3位设置为1，我们可以先把1左移2位，得到b=0000 0100，然后把a和b进行按位或运算，得到c=0010 1000 | 0000 0100 = 0010 1100，这个数c就是把a的第2位设置为1后的结果。
对于reset，想要让某一比特位变为0其他位不变，则可以用0按位与对应的比特位，那就只需让1向高位移动j位，然后按位取反，最后用位图中对应的char进行按位与等即可。
对于test，我们可以让对应比特位按位与1，其他比特位按位与0，这样其他比特位都是0，如果测试的比特位是1，则结果是非0，那就是true，如果测试的比特位是0，则结果是0，那就是false。
// 非类型模板参数 template <size_t N> class bitset { public: bitset() { _bits.resize(N / 8 + 1, 0); //可能开的比特位恰好满足数字的个数，也可能最多浪费7个比特位 //_bits.resize(N << 3 + 1, 0);//位运算符优先级过低，这里先进行+运算，则结果和我们预想的不一致，发生错误。 } void set(size_t x) { size_t i = x / 8; size_t j = x % 8; _bits[i] |= 1 << j; } void reset(size_t x) { size_t i = x / 8; size_t j = x % 8; _bits[i] &= ~(1 << j); } bool test(size_t x) { size_t i = x / 8; size_t j = x % 8; return _bits[i] & (1 << j);//这里不是&=，因为test不改变位图，只是判断一下而已 //有些编译器bool值是四个字节，返回时会发生整型提升，高位补符号位，但这些都不重要，只要是非0就行，判断为真 //我的编译器bool值是一个字节 } private: vector<char> _bits; };
位图的应用
- 快速查找某个数据是否在一个集合中
- 排序 + 去重
- 求两个集合的交集、并集等
- 操作系统中磁盘块标记
二、布隆过滤器
1.布隆过滤器概念
布隆过滤器是一种概率型数据结构，可以用于判断一个元素是否可能存在于一个集合中，其优点是空间效率高，查询速度快，缺点是有一定的误判率和删除困难。
将哈希与位图结合，即布隆过滤器
布隆过滤器的应用场景有：
解决缓存穿透问题，即避免频繁查询数据库中不存在的数据
邮件过滤，即用布隆过滤器来存储黑名单邮件地址，过滤掉垃圾邮件
网页爬虫，即用布隆过滤器来记录已经爬取过的网址，避免重复爬取
新闻推荐，即用布隆过滤器来记录用户已经浏览过的新闻，避免重复推荐
2.布隆过滤器实现
布隆过滤器的原理是：
创建一个二进制位数组（bitmap）和一组哈希函数
当要添加一个元素时，用哈希函数计算出该元素在位数组中的多个位置，并将这些位置的值设为1
当要查询一个元素时，用哈希函数计算出该元素在位数组中的多个位置，并检查这些位置的值是否都为1，如果都为1，则认为该元素可能存在；如果有任何一个位置为0，则认为该元素一定不存在
当要删除一个元素时，无法直接将位数组中的对应位置设为0，因为这样可能会影响其他元素的判断，所以需要使用一些变形的布隆过滤器来支持删除操作
布隆过滤器的删除
如果采用计数方式来实现reset，也就是布隆过滤器的删除，会存在一些问题。比如你不小心将某一个字符串多次重复删除，此时计数会进行- -，但如果是0- -呢？有可能还会发生越界访问等问题。所以计数方式也有他的缺陷，最好不要强制增加布隆过滤器的reset操作。
struct BKDRHash { size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto ch : key) { hash *= 131; hash += ch; } return hash; } }; struct APHash { size_t operator()(const string& key) { unsigned int hash = 0; int i = 0; for (auto ch : key) { if ((i & 1) == 0) { hash ^= ((hash << 7) ^ (ch) ^ (hash >> 3)); } else { hash ^= (~((hash << 11) ^ (ch) ^ (hash >> 5))); } ++i; } return hash; } }; struct DJBHash { size_t operator()(const string& key) { unsigned int hash = 5381; for (auto ch : key) { hash += (hash << 5) + ch; } return hash; } }; struct JSHash { size_t operator()(const string& s) { size_t hash = 1315423911; for (auto ch : s) { hash ^= ((hash << 5) + ch + (hash >> 2)); } return hash; } }; //布隆过滤器不仅可以存字符串，也可以存其他类型，只要最后能转换成整型完成取模映射就行，取模是比较常用的哈希函数 //平均存储一个值，开辟X个比特位 template <size_t N, size_t X = 8, class K = string, class Hashfunc1 = BKDRHash, class Hashfunc2 = APHash, class Hashfunc3 = DJBHash, class Hashfunc4 = JSHash> class BloomFilter { public: void set(const K& key) { size_t hash1 = Hashfunc1()(key) % (X * N); size_t hash2 = Hashfunc2()(key) % (X * N); size_t hash3 = Hashfunc3()(key) % (X * N); size_t hash4 = Hashfunc4()(key) % (X * N); _bs.set(hash1); _bs.set(hash2); _bs.set(hash3); _bs.set(hash4); } bool test(const K& key) { size_t hash1 = Hashfunc1()(key) % (X * N); if (!_bs.test(hash1)) { return false; } size_t hash2 = Hashfunc2()(key) % (X * N); if (!_bs.test(hash2)) { return false; } size_t hash3 = Hashfunc3()(key) % (X * N); if (!_bs.test(hash3)) { return false; } size_t hash4 = Hashfunc4()(key) % (X * N); if (!_bs.test(hash4)) { return false; } //上面判断不在的情况一定是准确的。 return true;//这里可能会存在误判，多个哈希位置都和别的字符串冲突了 } private: std::bitset<N * X> _bs;//如果size_t类型×X过后，size_t类型存不下，也可以选择换long long类型 };
三、海量数据处理
1. 位图应用
经典面试题及解决方案：
1. 给定一个文件，包含40亿个不重复的无符号整数，给一个无符号整数，如何快速判断这个数是否在文件中？
解决方案：使用一个40亿位的位图，将文件中的每个整数映射到位图中，然后根据给定的整数在位图中查找即可。
2. 给定两个文件，分别包含100亿个整数，只有1G内存，如何找到两个文件的交集？
解决方案：使用哈希切分的方法，将两个文件分别按照哈希函数分成1000个小文件，然后对每一对小文件求交集即可。
3. 给定一个文件，包含100亿个整数，只有1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数？
解决方案：使用两个位图，分别记录每个整数出现的次数，如果出现0次，则两个位图都为0；如果出现1次，则第一个位图为1，第二个位图为0；如果出现2次或以上，则第一个位图为0，第二个位图为1。最后遍历两个位图，找出第一个位图为1且第二个位图为0的位置即可。
2. 哈希切割
问题
给一个超过100G大小的log file, log中存着IP地址, 设计算法找到出现次数最多的IP地址？
因为问题是100G大小的文件，肯定是无法加载到内存解决的，传统的KV模型如map来是不能解决的，我们这里采用哈希切割的思想来解决此问题。
哈希切割是一种将一个大文件利用哈希的原理，将其分割为若干个小文件的方法，相同数据分到同一个文件。
一种解决方案是：
上来先遍历子文件内容，将每个内容构造成键值对插入到map里面，如果map存不下，则在插入的过程中会出现内存不够的情况，insert会报错，那其实就是new结点失败，new失败是会抛异常的，我们只要捕获这个异常即可，此时说明这个子文件中大多是不同的IP，那么只需要递归哈希切分这个子文件即可。
如果map能够存的下，则正常统计出 出现次数最多的IP即可，无须进行其他任何操作。
3. 布隆过滤器
给两个文件，分别有100亿个query，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？分别给出精确算法和近似算法。
精确算法：可以使用哈希切割的方法，将两个文件按照query的哈希值分割成若干个小文件，使得每个小文件的大小不超过内存限制。然后对每一对小文件，用散列表或者排序的方法找出其中的交集。最后将所有小文件的交集合并起来，就得到了两个大文件的交集。
近似算法：可以使用布隆过滤器的方法，先将一个文件中的所有query插入到一个布隆过滤器中，然后遍历另一个文件中的query，用布隆过滤器检查是否可能存在于第一个文件中。如果可能存在，则加入到候选集合中。最后再对候选集合进行一次精确匹配，就得到了两个大文件的近似交集。
如何扩展BloomFilter使得它支持删除元素的操作？
一种方法是使用计数型布隆过滤器，即在每个位数组位置上不再存储一个比特位，而是存储一个计数器。当插入一个元素时，将其映射到的位数组位置上的计数器加一；当删除一个元素时，将其映射到的位数组位置上的计数器减一。这样就可以实现删除操作，但是会增加空间开销和计算复杂度 。
另一种方法是使用双重布隆过滤器，即维护两个布隆过滤器，一个用于存储插入的元素（A），一个用于存储删除的元素（B）。当插入一个元素时，将其加入到A中；当删除一个元素时，将其加入到B中。当查询一个元素时，先检查它是否在A中，如果不在，则认为不存在；如果在，则再检查它是否在B中，如果在，则认为已经删除；如果不在，则认为存在。这样也可以实现删除操作，但是会增加误判率和维护成本 。
结束
