我们可以看一下早期的做法。比如，我有个口袋，可以在里面掏各种东西，把掏出来的项做组合。当然了，真正需要的项，这肯定在口袋中。这就是封闭候选集的一种做法。
后来我们做的时候发现，实际上我们不一定知道哪项是真正有用的。这种情况下，我们给一些基本的项，其他的项，我们通过遗传算法的交叉和变异得到新的项，这叫做半开放候选集。虽然我们没有一个完备的候选集，但是我们也能解决这个问题。当然，现在更好的办法是，如果只给我一个自变量，给我一个因变量，我们再定义一些运算符、运算法则。这种情况下，如果我们能够定义像导数，加减，乘除等等这些运算符，那么方程的每一项都是一个树的结构，这样你通过一次次变异去改变树的结构，就可以把方程找出来。即使是比较复杂的方程也能找出来，而且只需要自变量和因变量。
我们举个例子，KdV 方程，一个很复杂的方程。对于封闭候选集，需要先猜测这里面大概会包含哪些项？在这里，我们假设这里面有 17 项，而且方程真正需要的项确实也在这里面，这种情况下是能把问题解出来的。如果像刚才讲的半开放候选集，虽然只给了四个项，真正的项以及其他很多项不在这个候选集里面，这种情况下怎么办？可以通过交叉和变异的算法，产生新的项，这样也能把这个问题解决。
另外一个就是用符号数学的办法，每一项都可以变成一个树的结构。这个树是由节点构成的，父节点是运算符，子节点是系数、变量或者函数。对于树的结构，它的深度和广度，都可以调整，因为它表明树或者说方程的项到底有多复杂。这样，每一个方程实际上都是一片森林，你能够自由地去调整它的稀疏性。即使是很复杂的方程，在没有任何先验信息的情况下，也有可能找到。这种情况下，我们做了很多尝试，发现这个方法连很复杂的嵌套式方程和分数式方程都能找到。一般情况下，可能很难想象 1/x 是你方程的项和系数，实际上这里面还是很有意思的。那么它是怎么找到的呢？
比如刚才讲的例子中，初始有一个自变量、因变量，它第一代迭代后可能找出了这些简单的项，当然这些项是不正确的。然后再交叉、变异、进化，再去评估它合不合理等等，最后找出来的项是很好的。比如系数本来是 0. 25，它找出的系数是 0.2498，系数只是差一点点。另一个系数本来应该是 1 的，它算出来是 0. 9979，这基本上就把这个方程准确无误地找出来了。当然了，这里面还有很多例子，我就不详细展开了。
知识发现也可以用来解决实际的问题。比如这种粘性重力流问题，它的短期行为是没有控制方程的。这种情况下，我们通过精细的微观数字模拟能得到它的一些数据。是不是可以利用这些数据，来学习得到它的宏观控制方程？实际上这是可行的。
当然，我们做的过程中，会考虑一些准则。一方面我们需要已知的那部分数据，数据拟合的精度越高越好。另一方面，我们希望模型越简单越好。同时，拟合数据的吻合程度也要越高越好。
比如在这个情况下，短期的行为控制方程是从未被发现过的，文献里没有报道过，也没有人推导出来过。我们用知识发现的方法得到可能的两个方程，我们发现形式较为复杂的方程（方程②）和数据的误差比稍微要小一点，但是它比上面这个方程（方程①）更复杂，上面这个方程（方程①）更简洁。所以我们刚把刚才的两个因素考虑进去，通过比较物理信息准则值的大小，我们就采用这样一个形式（方程①），发现这个形式它实际上是一个非常好一个折中，它既有很好的精度，又有很好的简洁性，简单美。
小结一下，利用稀疏回归、遗传算法、符号数学，可以从时空的数据中直接挖掘控制方程。深度学习提供了一种计算导数的可行方式，对噪声、稀疏数据具有很好的鲁棒性。对于一个挖掘出的偏微分方程模型，它应该在简约性和精确性之间取得平衡，从而获得较高的可解释性，这样的方程它实际上就找到以后就很好用，也可以给我们获得更好的可解释性。挖掘控制方程的本质就是知识发现。
结语
总结一下，刚才讲知识的嵌入和知识的发现是要形成一个闭环的，是知识科学机器学习的一个核心。
最后，机器学习算法可以有效地解决具有复杂、非线性映射关系的问题。当然了，数据是关键，比如信息化、物联网等等，这非常重要。但是光有数据，只是 “数据大”，并不是 “大数据”。如何做到 “大数据”？刚才讲要建立这种模型，利用行业的知识，利用这种 cutting edge 的算法来好好地利用这些数据，从 “数据大” 到 “大数据”。
另外一方面，要引入行业的知识，这样可以有效地提升机器学习模型的效果。当然在各个环节都可以引入行业的知识，我就不重复了。
另外，大家可能听得比较多，是 AI 加 x， x 就是行业，还是行业加 AI，就是 x 加 AI。在我的心目中，我觉得解决各个行业的问题应该是行业 x 加 AI。因为 AI 是一种是算法，是通用的模型。像我们计算编程的语言，实际上光有这些编程的语言，是不能解决行业问题的，还应该是行业加 AI，这应该是数据驱动和模型驱动的一个有机的结合。
在这里面我再重复一遍，就是知识的嵌入和知识的发现，要形成一个闭环，从而大大提高我们人工智能解决实际问题的能力。
好，谢谢大家。
