一、排序的概念及其应用

1 排序的概念：

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。

外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

2 排序的应用

生活中处处存在排序，比如班级成绩排行榜、购物车上的商品排序等等。

3 常见的排序算法

二、常见的排序算法代码实现

1.插入排序

插入排序的基本思想：把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列 。

就好比如我们在玩扑克牌时就运用到了插入排序，把牌按顺序逐个进行插入排序。

①直接插入排序的思路为：当插入第i(i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],…,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与array[i-1],array[i-2],…的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入，原来位置上的元素顺序后移。

也就是说，在已经排序好的[0,end]这个区域内，对end+1这个下标的元素进行插入，插入到[0，end]中，插入后，变成了[0,end+1]，然后end后移，变成了[0,end]。

直接插入排序的特性总结：

1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法

4. 稳定性：稳定

代码如下(下面代码是降序，若要升序，则将a[end] < temp 中的 <  换成 > )

②希尔排序（缩小增量排序）：希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序法的基本思想是：先选定一个整数，把待排序文件中所有记录分成个组，所有距离为的记录分在同一组内，并对每一组内的记录进行排序。然后，取，重复上述分组和排序的工作。当到达=1时，所有记录在统一组内排好序。  

也就是说，分组来排序，当分组为1的时候，就是直接插入排序了。

希尔排序的特点是：前面几组的排序会让数据趋于有序，但不是有序，这叫预排序，当达到这种状态的时候，再最后分成1组去排序，也就是直接排序，效率会增大。

希尔排序的特性总结：

1. 希尔排序是对直接插入排序的优化.

2. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。

3. 希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些树中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定.                                                                                          4.稳定性：不稳定                                      

对于希尔排序的时间复杂度，根据殷人昆老师的《数据结构-用面相对象方法与C++描述》里面所提到的：我们可以将其定为O(logN^1.3)

代码如下：

2.选择排序

在这里就不再将堆排序了，如果要去了解堆排序可以去看我的二叉树(入门级)的文章，里面有对堆排序的详解。

2.1 选择排序的基本思想：每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。

这里介绍直接选择排序：

▶直接选择排序:

       ·在元素集合array[i]--array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素

       ·若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换

       ·在剩余的array[i]--array[n-2]（array[i+1]--array[n-1]）集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素

也就是说，定义max和mini，单趟走的时候，来找到本趟中最小和最大的两个数，然后将最小的放到数组的前面，最大的放到后面，然后多趟循环，每一次循环都不算入已经排好的数。

直接选择排序的特性总结：

1. 直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)

4. 稳定性：不稳定

代码如下：

3 交换排序

交换排序的基本思想：所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。

3.1 冒泡排序：

这是一个简单的排序。将每一个数组的元素进行一一比较，不断的往后放，每循环一次，就不算上已经排序好的元素，因此每一趟排序都是减1.

冒泡排序的特性总结：

1. 冒泡排序是一种非常容易理解的排序

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)

4. 稳定性：稳定

代码如下：

3.2 快速排序

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

在实现快速排序的时候，可以有递归和非递归两种方式！

3.2.1递归的方法，可以将其想象成二叉树，每一次分左右两块排序，分了再分，直到不能再分了，就排序完成了。

将区间按照基准值划分为左右两半部分的常见方式有：①hoare 版本  ②挖坑法  ③前后指针法

①hoare 版本

找出一个key值，用来分割左右区域，让右边区域的值是比key大的值，左边的则是比key的值要小。

然后分完一趟后，使用递归：将key所在的下标传回去，然后分割成[left,key-1]  key  [key+1,right]  三个区域，然后再将[left,key-1]  和 [key+1,right] 进行一趟的排序。接下来依次按照上面的步骤进行，直到每个区域里的  left >= right 就返回。最终成功排序。

这里需要注意的是：如何确保当两边相遇的时候，其相撞的位置是小于key的值，以至于能够将key的值和这个位置的值交换，达到右边小左边大，key为分割线的目的呢？

这里就需要确定好，谁先走的问题。

因此，结论是：如果左边第一个做key，那就让r先走，如果右边第一个做key，那就left先走。

流程图：

代码如下：

接下来，我们可以通过计算这个递归，类似二叉树的深度，可得知：如果每次的key，我们都是选在了中位数，那么，递归的深度就是logN，时间复杂度在O(N*logN)然后我们再继续分析：

如果我们选的key不在中位数，那么深度大概就是N,时间复杂度在O(N*N)

所以，我们要优化这个算法，从选key这个点上入手！尽量把key值，选在中位数。那么，对于随机数而言，该如何去选取出来呢？

我们采取三数取中的方法便可，即 第一个数   中间值    最后一个数   咱们选取中间值。

代码如下：

当取到这个中位数后，我们可以将左边第一个或者右边第一个与之交换，这样我们就可以使用上面的思路：关于哪边先走的问题了。优化好后的代码如下：

然而，这还不是最优化的。我们可以通过二叉树的概念，观察到这里的递归部分，从第一层开始，每一层的数量是从2^0   2^1   2^2.......依次往下增长，使得递归的次数越来越多，函数栈帧建立就越来越多，如果数量太大，会导致栈溢出的问题。

而通过观察，我们可以发现，二叉树的2^(h-1)层这一部分占了总数的百分之五十，2^(h-2)占了总数的百分之25，2^(h-3)占了总数的百分之12.5。这三层加起来，总共是87.5，占了总数的87.5.

如果我们在递归的时候，可以放弃这一部分，不通过递归来排序这一部分，那么算法的效率将会增大！那么我们要怎么放弃这一部分，又怎么样来排序这一部分呢？

我们通过画图，可以发现，当key是中位数，而数组中有8个元素的时候，继续递归的话，要继续递归3次，而这三次，恰好就是最后那占用了百分之87.5的次数，因此，我们可以通过判断，元素个数是否为8，如果是，那就不递归了。我们直接使用直接插入排序。

因此，在递归的时候，我们可以把代码改写成

②挖坑法

挖坑，就是用这个坑来分割左右区域。思路与hoare版本类似，但是细节不一样。也比较容易理解。

先将选取好的key值记录保存起来，然后将这个key值所在的数组下标作为坑，这个坑可以覆盖，因为key已经保存好了。

先让一边开始走，走到需要的位置后，比如先让右边走，走到比key值要小的位置，那么右边所处的下标的值就赋值给坑，再让坑移动到右边所处的位置。

然后让左边走，走到比key要大的值后，将这个值赋给坑，坑再移动到左边的这个位置。

依次循环，直到两边相撞。相撞的位置，将key拿过来。单趟排序完成。

③前后指针法

通过两个指针，prev和cur。

cur找比key小的值，而prev先不动。当cur找到比key小的值后，perv++，交换prev和cur的位置的值。为什么prev要++？这里是有两种情况的，cur找到小值后，刚好是在prev的前面，然后prev++，再交换的话，就是这个小值自己跟自己交换。第二种情况就是，cur找到小值后，prev前面的都是大值，然后perv++，此时的prev的位置的值就是大的值，再跟cur的位置的小值交换，就能达到小的往左边放，大的往右边放的目的了。

3.2.2 非递归方法

我们可以使用数据结构中的栈来实现非递归的方法 。每次入栈，都是将begin和end两个先入栈。然后出栈，每出一次栈，将其作为最左右两个下标来计算中间值并进行分割排序。拿到这个中间值后，就将这个数组划分成   [left, keyi-1]    keyi    [keyi+1,right]三个区域，然后再将他们各自的区域的begin和end入栈。当栈不为空，出栈，依次进行相同的操作，直到栈为空，排序也就完成了。

4 归并排序

什么是归并排序？归并排序就是利用分而治之的思想，将已经排好序的子序列合并，使整体有序。即先不断二分，直到由子序列有序，然后开始合并，直到整个数据得到排序。

这里的归并排序，用到的就是递归方式。先将整个数组的数据二分，得到区间[begin,mid] [mid+1,end],如果此时的子序列还是无序，则继续左右二分，直到有序，最坏的情况就是分成了区间是[0,0]  [1,1]  [2,2][3,3]......等只有一个元素的时候，一个元素也是有序的，就可以开始合并了。

合并是将子序列比较，开辟一个新的数组空间来存放合并的子序列，小的元素或大的元素尾插，等子序列合并成有序的序列后，再拷贝到原数组中。完成合并。

void_MergeSort(int*a, intbegin, intend, int*temp)
{
if (begin>=end)
    {
return;
    }
intmid= ((end-begin) >>1) +begin;
_MergeSort(a, begin, mid, temp);
_MergeSort(a, mid+1, end, temp);
//归并intbegin1=begin, end1=mid;
intbegin2=mid+1, end2=end;
inti=begin;
while (begin1<=end1&&begin2<=end2)
    {
if (a[begin1] <=a[begin2])
        {
temp[i++] =a[begin1++];
        }
else        {
temp[i++] =a[begin2++];
        }
    }
while (begin1<=end1)
    {
temp[i++] =a[begin1++];
    }
while (begin2<=end2)
    {
temp[i++] =a[begin2++];
    }
memcpy(a+begin, temp+begin, sizeof(int) * (end-begin+1));
}
voidMergeSort(int*a, intn)
{
int*temp= (int*)malloc(sizeof(int) *n);
if (temp==NULL)
    {
perror("malloc fail");
exit(-1);
    }
_MergeSort(a, 0, n-1, temp);
free(temp);
}

归并排序由递归的方式，也有非递归的方式。

可以回想，在解斐波那契数列的时候，在不使用非递归的方法，是从小的数一个一个加起来，作为数列的元素。因此，这里也可以使用这样的思想，先一个一个元素视为有序子序列，然后合并。再合并有两个元素的有序子序列.....

如图：

但是，在非递归的方法下，存在着元素个数的问题。如果元素个数在一个一个合并的时候，发现出现合并的元素，只有一个，但是在执行的时候，计算了这个元素的下一个，这就导致了溢出的问题。因此，需要解决这样的元素个数的问题。

通过分析，元素个数问题共有三种：

①end1溢出，即不存在end1这个下标的元素，但是在执行代码的时候，计算进去了。因此，遇到这个情况的时候，我们直接break掉。退出循环，让begin1下标的这个元素自成一组。

②begin2溢出，即合并子序列的第二组序列全是溢出的。就是只有[begin1,end1]这一组，没有[begin2,end2]这一组。因此，遇到begin2>=length(数组的长度)的时候，也直接break，退出循环。第一组就已经是排好序了。

③end2溢出，此时不能直接break，因为它是与[begin1,end1]合并的一组中的元素下标。我们可以将其下标前移一下，让[begin2,end2] 变成[begin2,begin2]，这样就不会溢出了。

voidMergeSortNor(int*a, intn)
{
int*temp= (int*)malloc(sizeof(int) *n);
if (temp==NULL)
    {
perror("malloc fail");
exit(-1);
    }
intgap=1;
while (gap<n)
    {
for (intj=0; j<n; j+=2*gap)
        {
intbegin1=j, end1=j+gap-1;
intbegin2=j+gap, end2=j+2*gap-1;
inti=j;
if (end1>=n)
            {
break;
            }
if (begin2>=n)
            {
break;
            }
if (end2>=n)
            {
end2=n-1;
            }
while (begin1<=end1&&begin2<=end2)
            {
if (a[begin1] <=a[begin2])
                {
temp[i++] =a[begin1++];
                }
else                {
temp[i++] =a[begin2++];
                }
            }
while (begin1<=end1)
            {
temp[i++] =a[begin1++];
            }
while (begin2<=end2)
            {
temp[i++] =a[begin2++];
            }
memcpy(a+j, temp+j, sizeof(int) * (end2-j+1));
        }
gap*=2;
    }
free(temp);
temp=NULL;
}

5 非比较排序

这里主要写计数排序。

计数排序的原理很简单。开辟一个新的数组，然后将元素与新数组的下标对应起来，比如元素1，与下标1对应，然后下标为1的内存空间的元素+1，。当要排序的元素全部按照规则存放到新数组后，遍历这个新数组，按照数字的大小，开始排序。

但是问题在于，如果给的元素的100，105，110，120....，那么是不是要开辟空间大小有100多个的数组呢？这样也太浪费空间了！

于是，我们使用的是相对映射。

将最大的元素减去最小的元素，然后加1.这个就是新数组的空间大小。为什么加1？如果最小的是0，最大的是9，即从0到9排序。那么我们需要开辟大小为10的数组。

那么问题也来了，那么我们如何通过新数组的下标，来确定这个下标的数字是几呢？

那就将这个下标的元素减去最小的元素，就是需要排序的那个元素了。

比如，105这个元素，减去最小的元素100，即5，则放到下标为5的空间。

当我们要排序105的时候，就将下标数加上最小元素100就行了。

voidCountSort(int*a, intn)
{
intmax=a[0], min=a[0];
inti=0;
for (i=1; i<n; i++)
    {
if (a[i] >max)
        {
max=a[i];
        }
if (a[i] <min)
        {
min=a[i];
        }
    }
intrange=max-min+1;
int*countArr= (int*)malloc(sizeof(int) *range);
if (countArr==NULL)
    {
perror("malloc fail");
exit(-1);
    }
memset(countArr, 0, sizeof(int) *range);
for (i=0; i<n; i++)
    {
countArr[a[i] -min]++;
    }
intj=0;
for (i=0; i<range; i++)
    {
while (countArr[i]--)
        {
a[j] =i+min;
j++;
        }
    }
free(countArr);
countArr=NULL;
}

三、排序算法复杂度及稳定性分析

一个排序算法，重要的是知道其时间和空间的复杂度，以及它的稳定性。

什么是稳定性？

本文开头的时候也解释了一下，通俗的来说，就是两个相同的数字，在排序之前，谁前谁后，那么在排序之后，也保持原来的样子。比如有元素8 6 55 10这5个元素，排序后，应该是55 6 8 10，而不是 55 6 8 10.

那么，我就需要对以上说分析的排序算法，整理一遍，复习一遍。

①直接插入排序：最坏的情况下，每一趟都需要走到尽，即n次，那么n趟就是n*n，时间复杂度就是O(n^2)。由于不需要开辟额外的空间，因此空间复杂度就是O(1) 。对于稳定性，直接排序在遇到相同的元素的时候，就会停止下来，因此稳定。

②希尔排序：希尔排序的时间复杂度是O(N^1.3),由于不需要开辟额外的空间，因此空间复杂度就是O(1)。对于稳定性，在预排序的时候，相同的元素可能会被分到不同的组，那么在预排序的时候就会打乱了 比如55的顺序。因此，不稳定。

③选择排序：选择排序，不管在最坏还是最好的情况下，都得走n次，一共n趟，所有时间复杂度就是O(n^2)。由于不需要开辟额外的空间，因此空间复杂度就是O(1) 。对于稳定性，比如有数组 8  9 8 5 5，在排序的时候，选到了最小的元素是5，选的是第一个5，那么在这个5与第一个元素8交换后，那么，在这个时候！两个8的位置就被改变，不稳定。

④堆排序：堆排序的时间复杂度是O(N*logN),空间复杂度是O(1).对于稳定性，如果给的数组是1111111，那么，不管是在建堆，还是在堆排序的时候，都会变换元素的位置。

⑤冒泡排序：最坏的情况下，每趟走n次，走n趟，则时间复杂度为O(N^2),空间复杂度是O（1）。对于稳定性，冒泡排序中，每一次排序，都直接将最大（升序）的元素往后仍，在遇到相同的后，就停下来，因此，不会改变位置。稳的一批！

⑥快速排序：其实对于快排，最坏的情况是可以避免的。即通过选key值，通过三数取中，或者随机取key值，就能避免O(N^2)的情况，可以变成O(N*logN),但是也因为这个原因，导致其不稳定。因为有可能在选key值的时候，就将相同数的位置改变了。其空间复杂度是O(1).

⑦归并排序：归并排序的时间复杂度是O(N*logN).空间复杂度是O(N)。对于稳定性：在排序的时候，不管遇到的是不是相同的数，都会将第一个（比大或比小）数尾插到新数组中，因此这样防止了相同的数的位置被交换了，这也是为啥，在比较的时候，加上等于号。所有，稳定得一批！

这就是我对排序的小小见解，往后的日子，会继续学习，复习。不断进步自己！