51. N皇后
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
- 输入：n = 4
- 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
- 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
- 输入：n = 1
- 输出：[["Q"]]
思路
都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二维矩阵还会有点不知所措。
首先来看一下皇后们的约束条件：
- 不能同行
- 不能同列
- 不能同斜线
确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。
下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：
从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。
回溯三部曲
按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}- 递归函数参数
我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。
参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。
代码如下：
vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {- 递归终止条件
在如下树形结构中：
可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。
代码如下：
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}- 单层搜索的逻辑
递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。
每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。
代码如下：
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}- 验证棋盘是否合法
按照如下标准去重：
- 不能同行
- 不能同列
- 不能同斜线 （45度和135度角）
代码如下：
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？
因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。
那么按照这个模板不难写出如下C++代码：
class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
result.clear();
std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。
总结
本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。
如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。
这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。
大家可以在仔细体会体会！
其他语言补充
Java
class Solution {
List<List<String>> res = new ArrayList<>();
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
char[][] chessboard = new char[n][n];
for (char[] c : chessboard) {
Arrays.fill(c, '.');
}
backTrack(n, 0, chessboard);
return res;
}
public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
if (row == n) {
res.add(Array2List(chessboard));
return;
}
for (int col = 0;col < n; ++col) {
if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
chessboard[row][col] = 'Q';
backTrack(n, row+1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';
}
}
}
public List Array2List(char[][] chessboard) {
List<String> list = new ArrayList<>();
for (char[] c : chessboard) {
list.add(String.copyValueOf(c));
}
return list;
}
public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
// 检查列
for (int i=0; i<row; ++i) { // 相当于剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查45度对角线
for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查135度对角线
for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
}// 方法2：使用boolean数组表示已经占用的直(斜)线
class Solution {
List<List<String>> res = new ArrayList<>();
boolean[] usedCol, usedDiag45, usedDiag135; // boolean数组中的每个元素代表一条直(斜)线
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
usedCol = new boolean[n]; // 列方向的直线条数为 n
usedDiag45 = new boolean[2 * n - 1]; // 45°方向的斜线条数为 2 * n - 1
usedDiag135 = new boolean[2 * n - 1]; // 135°方向的斜线条数为 2 * n - 1
//用于收集结果, 元素的index表示棋盘的row，元素的value代表棋盘的column
int[] board = new int[n];
backTracking(board, n, 0);
return res;
}
private void backTracking(int[] board, int n, int row) {
if (row == n) {
//收集结果
List<String> temp = new ArrayList<>();
for (int i : board) {
char[] str = new char[n];
Arrays.fill(str, '.');
str[i] = 'Q';
temp.add(new String(str));
}
res.add(temp);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (usedCol[col] | usedDiag45[row + col] | usedDiag135[row - col + n - 1]) {
continue;
}
board[row] = col;
// 标记该列出现过
usedCol[col] = true;
// 同一45°斜线上元素的row + col为定值, 且各不相同
usedDiag45[row + col] = true;
// 同一135°斜线上元素row - col为定值, 且各不相同
// row - col 值有正有负, 加 n - 1 是为了对齐零点
usedDiag135[row - col + n - 1] = true;
// 递归
backTracking(board, n, row + 1);
usedCol[col] = false;
usedDiag45[row + col] = false;
usedDiag135[row - col + n - 1] = false;
}
}
}Python
class Solution:
def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
if not n: return []
board = [['.'] * n for _ in range(n)]
res = []
def isVaild(board,row, col):
#判断同一列是否冲突
for i in range(len(board)):
if board[i][col] == 'Q':
return False
# 判断左上角是否冲突
i = row -1
j = col -1
while i>=0 and j>=0:
if board[i][j] == 'Q':
return False
i -= 1
j -= 1
# 判断右上角是否冲突
i = row - 1
j = col + 1
while i>=0 and j < len(board):
if board[i][j] == 'Q':
return False
i -= 1
j += 1
return True
def backtracking(board, row, n):
# 如果走到最后一行，说明已经找到一个解
if row == n:
temp_res = []
for temp in board:
temp_str = "".join(temp)
temp_res.append(temp_str)
res.append(temp_res)
for col in range(n):
if not isVaild(board, row, col):
continue
board[row][col] = 'Q'
backtracking(board, row+1, n)
board[row][col] = '.'
backtracking(board, 0, n)
return resC
char ***ans;
char **path;
int ansTop, pathTop;
//将path中元素复制到ans中
void copyPath(int n) {
char **tempPath = (char**)malloc(sizeof(char*) * pathTop);
int i;
for(i = 0; i < pathTop; ++i) {
tempPath[i] = (char*)malloc(sizeof(char) * n + 1);
int j;
for(j = 0; j < n; ++j)
tempPath[i][j] = path[i][j];
tempPath[i][j] = '\0';
}
ans[ansTop++] = tempPath;
}
//判断当前位置是否有效（是否不被其它皇后影响）
int isValid(int x, int y, int n) {
int i, j;
//检查同一行以及同一列是否有效
for(i = 0; i < n; ++i) {
if(path[y][i] == 'Q' || path[i][x] == 'Q')
return 0;
}
//下面两个for循环检查斜角45度是否有效
i = y - 1;
j = x - 1;
while(i >= 0 && j >= 0) {
if(path[i][j] == 'Q')
return 0;
--i, --j;
}
i = y + 1;
j = x + 1;
while(i < n && j < n) {
if(path[i][j] == 'Q')
return 0;
++i, ++j;
}
//下面两个for循环检查135度是否有效
i = y - 1;
j = x + 1;
while(i >= 0 && j < n) {
if(path[i][j] == 'Q')
return 0;
--i, ++j;
}
i = y + 1;
j = x -1;
while(j >= 0 && i < n) {
if(path[i][j] == 'Q')
return 0;
++i, --j;
}
return 1;
}
void backTracking(int n, int depth) {
//若path中有四个元素，将其拷贝到ans中。从当前层返回
if(pathTop == n) {
copyPath(n);
return;
}
//遍历横向棋盘
int i;
for(i = 0; i < n; ++i) {
//若当前位置有效
if(isValid(i, depth, n)) {
//在当前位置放置皇后
path[depth][i] = 'Q';
//path中元素数量+1
++pathTop;
backTracking(n, depth + 1);
//进行回溯
path[depth][i] = '.';
//path中元素数量-1
--pathTop;
}
}
}
//初始化存储char*数组path，将path中所有元素设为'.'
void initPath(int n) {
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++) {
//为path中每个char*开辟空间
path[i] = (char*)malloc(sizeof(char) * n + 1);
//将path中所有字符设为'.'
for(j = 0; j < n; j++)
path[i][j] = '.';
//在每个字符串结尾加入'\0'
path[i][j] = '\0';
}
}
char *** solveNQueens(int n, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//初始化辅助变量
ans = (char***)malloc(sizeof(char**) * 400);
path = (char**)malloc(sizeof(char*) * n);
ansTop = pathTop = 0;
//初始化path数组
initPath(n);
backTracking(n, 0);
//设置返回数组大小
*returnSize = ansTop;
int i;
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
for(i = 0; i < ansTop; ++i) {
(*returnColumnSizes)[i] = n;
}
return ans;
}
