spfa算法的实现

分析

终于来到SPFA算法了！之前已经说明过了Bellman_ford算法 ,我们今天说明的SPFA算法仅仅只是对该算法的一个优化。

Bellman_ford算法会遍历所有的边，但是有很多的边遍历了其实没有什么意义，我们只用遍历那些到源点距离变小的点所连接的边即可，只有当一个点的前驱结点更新了，该节点才会得到更新；因此考虑到这一点，我们将创建一个队列每一次加入距离被更新的结点。

值得注意的是

1. st数组的作用：判断当前的点是否已经加入到队列当中了；已经加入队列的结点就不需要反复的把该点加入到队列中了，就算此次还是会更新到源点的距离，那只用更新一下数值而不用加入到队列当中。
   即便不使用st数组最终也没有什么关系，但是使用的好处在于可以提升效率。
2. SPFA算法看上去和Dijstra算法长得有一些像但是其中的意义还是相差甚远的:

1] Dijkstra算法中的st数组保存的是当前确定了到源点距离最小的点，且一旦确定了最小那么就不可逆了(不可标记为true后改变为false)；SPFA算法中的st数组仅仅只是表示的当前发生过更新的点，且spfa中的st数组可逆(可以在标记为true之后又标记为false)。顺带一提的是BFS中的st数组记录的是当前已经被遍历过的点。

2] Dijkstra算法里使用的是优先队列保存的是当前未确定最小距离的点，目的是快速的取出当前到源点距离最小的点；SPFA算法中使用的是队列(你也可以使用别的数据结构),目的只是记录一下当前发生过更新的点。

3. ⭐️Bellman_ford算法里最后return-1的判断条件写的是dist[n]>0x3f3f3f3f/2;而spfa算法写的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在于Bellman_ford算法会遍历所有的边，因此不管是不是和源点连通的边它都会得到更新；但是SPFA算法不一样，它相当于采用了BFS，因此遍历到的结点都是与源点连通的，因此如果你要求的n和源点不连通，它不会得到更新，还是保持的0x3f3f3f3f。
   
4. ⭐️ Bellman_ford算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；但是SPFA算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用SPFA否则会死循环。
   
5. ⭐️由于SPFA算法是由Bellman_ford算法优化而来，在最坏的情况下时间复杂度和它一样即时间复杂度为 O(nm)O(nm) ，假如题目时间允许可以直接用SPFA算法去解Dijkstra算法的题目。(好像SPFA有点小小万能的感觉?)
   
6. ⭐️求负环一般使用SPFA算法，方法是用一个cnt数组记录每个点到源点的边数，一个点被更新一次就+1，一旦有点的边数达到了n那就证明存在了负环。
   

代码及注释

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
#define fi first
#define se second
typedef pair<int,int> PII;//到源点的距离，下标号
int h[N],e[N],w[N],ne[N],idx=0;
int dist[N];//各点到源点的距离
bool st[N];
int n,m;
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
int spfa(){
queue q;
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
q.push({0,1});
st[1]=true;
while(q.size()){
PII p=q.front();
q.pop();
int t=p.se;
st[t]=false;//从队列中取出来之后该节点st被标记为false,代表之后该节点如果发生更新可再次入队
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j]){//当前已经加入队列的结点，无需再次加入队列，即便发生了更新也只用更新数值即可，重复添加降低效率

st[j]=true;
q.push({dist[j],j});
}
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
else return dist[n];
}
int main(){
scanf(“%d%d”,&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);
while(m–){
int a,b,c;
scanf(“%d%d%d”,&a,&b,&c);
add(a,b,c);
}
int res=spfa();
if(res==-1) puts(“impossible”);
else printf(“%d”,res);
return 0;
}