一、前言

本文将讲述有关于关系代数的知识点，并附例题加深印象

二、概述

• 抽象的查询语言
• 用对关系的运算来表达查询
• 运算对象：关系
• 运算结果：关系
• 运算符：传统集合运算符 和 专门的关系运算符

三、传统的集合运算符

1.概述

• 将关系看作是元组的集合
• 运算是从行的角度进行的
• 其中包括并、差、交 和 笛卡儿积

2.∪（并）

R∪S={ t | t∈R ∨ t∈S }简单来说，就是把两个关系中所有的元素合并成一张表

例如：

关系R

关系S

那么 R∪S 为：

3.∩（交）

R∩S={ t | t∈R ∧ t∈S }简单来说，就是把两张表格中相同的元素提取出来，组成一个新的表

例如：

关系R

关系S

那么 R∩S 为：

4.-（差）

R-S={ t | t∈R ∧ t∉S } 简单来说，就是将R中两个关系中共同元素去除

例如：

关系R

关系S

那么 R-S 为：

5.笛卡儿积

R×S={(x,y)|x∈R∧y∈S} 这个有点难以理解。。。那么直接看例子吧

例如：

关系R

关系S

那么 R×S 为：

我们设R是n目关系，有K1个元组，S是m目关系，有K2个元组，那么他们的笛卡儿积其实就是排列组合，如果将R关系中的每一行看作是abc，S关系中的每一行看作是xyz，那么他们两两组合的方式一共有9种，故 当R有K1个元组，S有K2个元组时，R和S的笛卡儿积行一共有K1×K2个元组；而由于每个关系里都有各自属性，所以R和S的笛卡儿积列一共有（m+n）个元组

PS：如果概念性语言描述不清楚的话，可以看这篇【关系模型知识点总结（1）—— 关系数据结构】里面有对专业名词的解释

四、专门的关系运算

1.概述

• 从关系R中选取使得逻辑表达式F为真的元组
• F：选择条件，即逻辑表达式，取值为真/假，一般形式为X1θY1，θ为> / < / <= / >= / <>
• 从行的角度运算

2.记号

• 关系R(A1,A2,···,An)，t∈R表示t是R的元组
• t[Ai]代表元组t中相应于属性Ai的分量
• 若 A={Ai1,Ai2,···,Aik}，则 A是属性列/属性组
• t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],···,t[Aik])表示元组t在数学列A上每个分量的集合

3.象集

• 给定一个关系R(X,Z)，X和Z为属性组
• 当t[X]=x，x在R中象集定义为 Zx={ t[Z] | t∈R，t[X] =x }

列如：

X1在R中的象集ZX1 = {Z1,Z2,Z3}

X2在R中的象集ZX2 = {Z4,Z5}

X3在R中的象集ZX2 = {Z6}

4.选择

• σF ( R ) {t|t∈R∧F(t)=‘真’}
• 提取出来的是某一行

列如：

Student

σ Sdept=‘CS’(Student) 结果为：

5.投影

• ΠA( R )={ t[A] | t∈R }
• 从列的角度来运算
• 将提取出来的属性及值组成新的关系
• 若有重复元组，要取消

例如：

Student

ΠSdept(Student)的结果为：

6.连接

• 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
• 同名属性才能进行自然连接
• 自然连接要去掉重复属性，等值连接不用

🔴等值连接

例如：

R

S

等值连接后结果为：

🔴自然连接

例如：

R

S

自然连接后结果为：

7.悬浮元组

• 操作时被舍弃的元组

例如：

R

S

在进行连接时，下面两组都是被舍弃的元组，因为属性值不相同，他们就是悬浮元组

🔴外连接

将悬浮元组保存在关系中，在其它属性填上空值（NULL） 简单来说，就是把表中所有元素都填到新表中，如果某行或者某列中只有一个关系有值，另一个没有，就用NULL代替

🔴左外连接

只保留左边关系R的悬浮元组 简单来说，就是保证R中所有元素都在新表里面了，这行中S的某个属性没有值的话，用NULL代替

🔴右外连接

只保留右边关系S的悬浮元组 简单来说，就是保证S中所有元素都在新表里面了，这行中R的某个属性没有值的话，用NULL代替

8.除运算

列如：

R

S

我们来求a1、a2、a3、a4的象集

a1：{ （b1,c2），（b2,c3），（b2,c3）}

a2：{（b3,c7），（b2,c3）}

a3：{（b4,c6）}

a4：{（b6,c6）}

S在B、C上投影为{ （b1,c2），（b2,c3），（b2,c3）}

所以R÷S = {a1}

五、结语

概念如果混淆不清的话，建议独立做例题，这样可以加深记忆