高斯分布是统计中最重要的概率分布，在机器学习中也很重要。因为很多自然现象，比如人口的身高，血压，鞋子的尺码，教育指标，考试成绩，还有很多更重要的自然因素都遵循高斯分布。
我相信，你听说过这个词，在某种程度上也知道它。如果没有，也不要担心。这篇文章将会解释清楚。我在Coursera的Andrew Ng教授的机器学习课程中发现了一些令人惊叹的视觉效果。他知道如何将一个主题分解成小块，使它更容易解释。
他使用了一些可视化方法，让人们很容易理解高斯分布及其与相关参数(如均值、标准差和方差)的关系。
在这篇文章中，我从他的课程中截取了一些图像，并在这里用它来详细解释高斯分布。
高斯分布
高斯分布是正态分布的同义词。它们是一样的东西。假设，S是一组随机值，其概率分布如下图所示。
平均值mu是分布的中心，曲线的宽度是数据系列的标准差，表示为sigma。
这是一个钟形曲线。如果一个概率分布图像上面那样形成一个钟形曲线，并且该样本的均值和中位数相同，则该分布称为正态分布或高斯分布。
高斯分布由两个参数:
a.平均数
b.方差
所以，高斯密度在mu或均值处是最高的，离均值越远，高斯密度就越低。
这是高斯分布的公式:
方程左边是x的概率参数是和的平方。这是钟形曲线的公式其中平方称为方差。
高斯分布与平均值和标准差有什么关系
在这一节中，我将展示一些图片，让你们清楚地了解参数和与钟形曲线的关系。我将展示三幅图在这三幅图中mu固定在0处而sigma不同。
注意曲线的形状和范围是如何随不同的sigma变化的。
图1
这是一组随机数的概率分布mu = 0，而sigma = 1。
在这幅图中，mu是0，这意味着最大的概率密度是0,sigma是1。表示曲线的宽度是1。
注意，曲线的高度大约是0.5，范围是-4到4(看x轴)。方差的平方是1。
图2
这是另一组随机数0,0.5。
因为mu是0，就像之前的图一样最大的概率密度是0,sigma是0.5。曲线的宽度是0.5。方差的平方变成0.25。
由于曲线的宽度是前一条曲线的一半，因此高度加倍。范围改变为-2到2 (x轴)，这是前一张图片的一半。
图3
在这幅图中，sigma= 2 mu= 0。
将其与图1比较，其中sigma为1。这一次，高度变成了图1的一半，宽度随着变成两倍。
方差平方是4，比图1大4倍。x轴的范围是-8到8。
图4
此示例与前三个示例略有不同。
这里，我们把mu改为3 sigma = 0.5，如图2所示。因此，曲线的形状与图2完全相同，只是中心移动到了3。现在最大的密度是3。
上面的四条曲线用不同的参数改变形状但曲线的面积保持不变。
概率分布的一个重要性质是，曲线下的面积积分为1。
参数计算
假设我们有一系列数据。如何计算mu(均值)和标准差?
mu的计算很简单。这只是平均数。把所有数据的总和除以数据的总数。
这里，xi是数据集中的单个值，m是数据的总数。
方差公式为:
标准差就是方差的平方根。
多元高斯分布
假设有多组数据，我们需要多元高斯分布。假设我们有两组数据;x1和x2。
单独建模p(x1)和p(x2)对于理解两个数据集的组合效果可能不是一个好主意。在这种情况下，您可能希望将数据集和模型仅结合在一起建立p(x)。
这是计算多元高斯分布概率的公式，
多变量高斯分布的可视化表示
在本节中，我们将看到多元高斯分布的可视化表示，以及曲线的形状如何随mu、sigma以及变量之间的相关性而变化。
从标准正态分布开始
图5
该图表示多元高斯分布的概率分布，其中x1和x2的mu都为零。
请不要被这里的求和符号搞糊涂了。这是一个单位矩阵，其中对角线上的1是x1和x2的sigma。而非对角线上的零表示x1和x2之间的相关性。在这个例子中x1和x2是不相关的。
这里的图片很简单。在x1和x2方向上，当mu为0时，最大的概率密度为0。
中间的深红色区域是概率密度最高的区域。在浅红色、黄色、绿色和青色区域，概率密度继续降低。深蓝色区域是最低的。
