🍏121. 买卖股票的最佳时机
🍊题目描述
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4] 输出：5 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
🍇思路分析
动规五部曲
确认dp数组以及下标的含义
dp[i] [0]表示第i天持有股票所得最多现金.
dp[i] [1]表示第i天不持有股票所得最多现金.
注意: 这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态
确认题解公式
如果第i天持有股票即dp[i][0] :,那么可以由两个状态推出来
第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i-1] [0]
第i-1天(包括i-1)未持有股票,第i天买入股票.所得现金就是买入今天的股票后所得现金即: -prices[i]
dp[i] [0]应该选择所得现金最大的,所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有骨片即dp[i] [1],也可以由两个状态推出来
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]
同样dp[i] [1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
dp数组如何初始化
由以上两个递推公式可有看出,其基础都是要从dp[0] [0]和dp[0] [1]推导出的。
dp[0] [0]表示第0天持有股票,此时的持有股票一定是买入股票了,因为不可能由前一天推出来,所以 dp[0][0] -= prices[0];
dp[0] [1]表示第0天不持有股票,那么现金就是0,所以 dp[0] [1] = 0;
确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是从dp[i-1]推导出来的,那么一定是从前往后遍历的
举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
dp[5] [1]就是最终结果。
为什么不是dp[5] [0]呢？
因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
🍑参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int maxProfit(vector<int>& prices) { vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2,0)) ;//dp[i][0]:持有股票 dp[i][1]:不持有股票 //初始化 dp[0][0] -= prices[0] ; dp[0][1] = 0; //进行递推 for(int i = 1;i < prices.size(); i++) { dp[i][0] = max(dp[i-1][0],-prices[i]);//持有时的获利:之前已经持有 和 现在开始持有的最大值. dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]); //不持有时的获利: 之前已经不持有(卖出) 和 现在不持有上次持有(卖出) } return dp[prices.size()-1][1];//返回最终获利 }
🍌122. 买卖股票的最佳时机 II
🍐题目描述
给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的价格。
在每一天，你可能会决定购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以购买它，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1:
输入: prices = [7,1,5,3,6,4] 输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: prices = [1,2,3,4,5] 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: prices = [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
🍉思路分析
本题和上题的唯一区别在于 本题股票可以买卖多次 这就导致了动规的状态转移方程和上题稍有差别.
我们重点分析下递推公式(状态转移方程).
🍭🍭🍭如果第i天持有股票即dp[i][0] :那么可以由两个状态推出来
第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i-1] [0]
第i天买入股票(第i-1天(包括i-1)未持有股票,).所得现金就是买入今天的股票后所得现金 即: dp[i-1] [1]-prices[i]
dp[i] [0]应该选择所得现金最大的,所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i-1] [1]-prices[i]);
注意:
第二种就是 与上题不同第地方,上题股票全程只能买卖一次,所以如果买入股票,那么第i天持有股票dp[i] [0]一定就是-prices[i].
而本题,因为一只股票可以被买卖多次,所以当第i天买入股票的时候,所持有现金可能有之前买卖过的利润.所以所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
🍬🍬🍬如果第i天不持有股票即dp[i] [1],也可以由两个状态推出来
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]
同样dp[i] [1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
🍅参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int maxProfit(vector<int>& prices) { vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2,0)); dp[0][0] -= prices[0]; //持有 dp[0][1] = 0;//不持有 for(int i = 1;i < prices.size();i++) { //dp[i][0] = max()//持有 dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//持有时的获利: = max(之前持有的利润 ,之前未持有但是现在买入持有的利润) dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]) ;//不持有时的获利: = max(之前不持有利润,之前持有本次卖出的利润) } return dp[prices.size()-1][1] ; }
时间复杂度：O ( n )
空间复杂度：O ( n )
🍒123. 买卖股票的最佳时机 III
🍓题目描述
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0
🍎思路分析
这道题相对于 前两道题 难度又提升了不少.
关键在于 至多买卖两次,这就意味着可以买卖一次,买卖两次,也可以不买卖
我们还是按照动规五部曲来分析以下
确定dp数组以及下标的含义
一天股票有五种状态
0 没有操作
1 第一次买入
2 第一次卖出
3 第二次买入
4 第二次卖出
dp[i] [j]中:i表示第i天,j为[0-4]五种状态,dp[i] [j]表示第i天状态j所得最大现金.
确定递推公式
达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
dp[i] [1]一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i] [2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
dp数组如何初始化
第0天没有操作,就是0, 即dp[0] [0] = 0
第0天做第一次买入操作,dp[0] [1] = -prices[0]
第0天做第一次卖出的操作,因为第0天嘛,都没股票(无法卖出),所以就是0了,即dp[0] [2] = 0
第0天第二次买入操作.第二次买入依赖于第一次卖出的状态,就相当于第0天第一次买入了,然后又卖出了(一进一出获利为0).然后开始第二次买入. 即dp[0] [3] = -prices[0]
第0天第二次卖出操作. dp[0] [4] = 0;
4.确定遍历顺序
从递归公式已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i],依靠dp[i - 1]的数值。
举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现金最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。
所以最终最大利润是dp[4] [4]
🌽参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int maxProfit(vector<int>& prices) { vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(5,0));//定义dp //初始化 dp[0][0] = 0;//保持不变 dp[0][1] -= prices[0]; //第一次买入 dp[0][2] = 0;//第一次卖出 dp[0][3] -= prices[0] ;//第二次买入 dp[0][4] = 0;//第二次卖出 for(int i = 1;i < prices.size(); i++) { dp[i][0] = dp[i-1][0]; dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i][0]-prices[i]);//第一次买入: max(之前第一次买入,之前没买这次第一次买入) dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);//第一次卖出:max(之前第一次卖出,之前没卖本次进行第一次卖出) dp[i][3] = max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]); dp[i][4] = max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]); } return dp[prices.size()-1][4]; }
