62. 不同路径
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
思路分析
方法一:深搜
机器人只能向下和向右走,所以按照Dfs的书写步骤来操作即可. 但是由于深搜的时间复杂度是O ( 2 ( m + n − 1 ) 的,所以会超时!
方法二:动态规划
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。
按照 动规五部曲 来分析：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有 dp[i][j] 条不同的路径。
确定递推公式
要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j]和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j]表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
定遍历顺序
这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
举例推导dp数组
参考代码
方法一:深搜
//方法一:深搜.. int sum;//路的条数 int Next[2][2] = {{1,0},{0,1}} ;//定义方向数组 void dfs(int m,int n,int x,int y) { if(x==m && y==n) { //递归结束条件 sum++; return; } for(int i = 0; i <2; i++) { //判断是否越界 int nextX = x + Next[i][0]; int nextY = y + Next[i][1]; if(nextX>m || nextY > n) {//越界 continue; } //继续dfs dfs(m,n,nextX,nextY); //不需要回溯,因为 每次这条路不行就走另外一条了,x,y还和之前一样.. 另外行进也是越来越靠近目标点的,也不用做标记啥的. } } int uniquePaths(int m, int n) { dfs(m,n,1,1) ; return sum; } //备注:大佬的dfs,呜呜呜,同样的深搜,人家可以写的如此短小精悍 int dfs(int i, int j, int m, int n) { if(i>m || j > n) {//越界了 return 0; } if(i==m&&j==n) {//找到了另外一种方法 return 1; } return dfs(i+1,j,m,n) + dfs(i,j+1,m,n); }
方法二:动态规划
//方法二:动归 int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0)); //dp[0][j]和dp[i][0]初始化为1,因为路径只有一条 for(int i = 0; i < m; i++){ dp[i][0] = 1; } for(int j = 0; j < n;j++){ dp[0][j] = 1; } //根据状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],推出dp[m-1][n-1] for(int i = 1; i < m;i++) { for(int j = 1;j < n;j++){ dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; } } return dp[m-1][n-1]; }
63. 不同路径 II
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]] 输出：1
思路分析
这道题相对于62.不同路径 (opens new window)就是有了障碍。这有障碍了，应该怎么算呢？
动规五部曲：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
确定递推公式
递推公式和 62.不同路径 一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。
但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。
dp数组如何初始化
因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
如图：
确定遍历顺序
从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
举例推导dp数组
拿示例1来举例如题：
对应的dp 如图：
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) { int m = obstacleGrid.size(); int n = obstacleGrid[0].size(); vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0)); //dp初始化 第一行和第一列初始化为1,但是障碍物之后初始化为0 for(int i = 0; i < m; i++) { if(!obstacleGrid[i][0]) { dp[i][0] = 1; } else { break;//如果此处是障碍物,后序dp[i][0]为0 } } for(int j = 0; j < n; j++) { if(obstacleGrid[i][j]==0) { dp[0][j] = 1; } else { break;//如果此处是障碍物,后序dp[i][0]为0 } } //推导dp for(int i = 1; i < m; i++) { for(int j = 1; j < n; j++) { if(obstacleGrid[0][j]) { //如果是障碍物,则跳过. continue; } dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; } } return dp[m-1][n-1]; }
343. 整数拆分
题目描述
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: n = 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
