一、图的基本概念

1️⃣图的定义

定义： 图(graph)是由一些点(vertex)和这些点之间的连线(edge)所组成的；其中，点通常被成为"顶点(vertex)“，而点与点之间的连线则被成为"边或弧”(edege)。通常记为，G=(V,E)。

2️⃣图的种类

根据边是否有方向，将图可以划分为：无向图 和有向图。

🍀（1）无向图

上面的图G0是无向图，无向图的所有的边都是不区分方向的。G0=(V1,{E1})。其中：

（1）V1={A,B,C,D,E,F}。 V1表示由"A,B,C,D,E,F"几个顶点组成的集合。

（2）E1={(A,B),(A,C),(B,C),(B,E),(B,F),(C,F), (C,D),(E,F),(C,E)}。E1是由边(A,B),边(A,C)…等组成的集合。其中，(A,C)表示由顶点A和顶点C连接成的边。

🍀（2）有向图

上面的图G2是有向图。和无向图不同，有向图的所有的边都是有方向的！ G2=(V2,{A2})。其中：

（1）V2={A,C,B,F,D,E,G}。 V2表示由"A,B,C,D,E,F,G"几个顶点组成的集合。

（2）A2={<A,B>,<B,C>,<B,F>,<B,E>,<C,E>,<E,D>,<D,C>,<E,B>,<F,G>}。E1是由矢量<A,B>,矢量<B,C>…等等组成的集合。其中，矢量<A,B)表示由"顶点A"指向"顶点C"的有向边。

3️⃣邻接点和度

🍀（1）邻接点

（1）一条边上的两个顶点叫做邻接点。 例如，上面无向图G0中的顶点A和顶点C就是邻接点。

（2）在有向图中，除了邻接点之外；还有"入边"和"出边"的概念。顶点的入边，是指以该顶点为终点的边。而顶点的出边，则是指以该顶点为起点的边。例如，上面有向图G2中的B和E是邻接点；<B,E>是B的出边，还是E的入边。

🍀（2）度

（1）在无向图中，某个顶点的度是邻接到该顶点的边(或弧)的数目。 例如，上面无向图G0中顶点A的度是2。

（2）在有向图中，度还有"入度"和"出度"之分。某个顶点的入度，是指以该顶点为终点的边的数目。而顶点的出度，则是指以该顶点为起点的边的数目。 顶点的度=入度+出度。例如，上面有向图G2中，顶点B的入度是2，出度是3；顶点B的度=2+3=5。

4️⃣路径和回路

路径： 如果顶点(Vm)到顶点(Vn)之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。

路径长度： 路径中"边的数量"。

简单路径： 若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。

回路： 若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。

简单回路： 第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

5️⃣连通图和连通分量

• 连通图： 对无向图而言，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，则称该无向图为连通图。 对有向图而言，若图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称该有向图为强连通图。
• 连通分量： 非连通图中的各个连通子图称为该图的连通分量。

6️⃣权

在学习"哈夫曼树"的时候，了解过"权"的概念。图中权的概念与此类似。

上面就是一个带权的图。

二、图的存储结构

图的存储结构，常用的是"邻接矩阵"和"邻接表"。

1️⃣邻接矩阵

邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。

假设图中顶点数为n，则邻接矩阵定义为：

下面通过示意图来进行解释。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

通常采用两个数组来实现邻接矩阵：一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息。

邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。

2️⃣邻接表

邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的"邻接矩阵"，它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

三、图的遍历

对于图而言，我们常用的遍历方式有bfs和dfs两种：

• bfs：广度优先搜索算法，英文Breadth First Search。广度优先搜索会优先访问当前顶点的所有邻接结点。
• dfs：深度优先搜索算法，英文Depth First Search。深度优先搜索会优先顺延访问当前节点分支进行访问，直到不能深入，每个节点只访问一次。

1️⃣广度优先搜索

🍀（1）广度优先搜索介绍

广度优先搜索算法(Breadth First Search)，又称为"宽度优先搜索"或"横向优先搜索"，简称BFS。

它的思想是：从图中某顶点v出发，在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1,2…的顶点。

🍀（2）广度优先搜索图解

无向图的广度优先搜索：

第1步：访问A。

第2步：依次访问C,D,F。在访问了A之后，接下来访问A的邻接点。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。再访问完C之后，再依次访问D,F。

第3步：依次访问B,G。在第2步访问完C,D,F之后，再依次访问它们的邻接点。首先访问C的邻接点B，再访问F的邻接点G。

第4步：访问E。 在第3步访问完B,G之后，再依次访问它们的邻接点。只有G有邻接点E，因此访问G的邻接点E。

因此访问顺序是：A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

有向图的广度优先搜索：

第1步：访问A。

第2步：访问B。

第3步：依次访问C,E,F。在访问了B之后，接下来访问B的出边的另一个顶点，即C,E,F。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，因此会先访问C，再依次访问E,F。

第4步：依次访问D,G。 在访问完C,E,F之后，再依次访问它们的出边的另一个顶点。还是按照C,E,F的顺序访问，C的已经全部访问过了，那么就只剩下E,F；先访问E的邻接点D，再访问F的邻接点G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> F -> D -> G

🍀（3）广度优先搜索代码实现

public class Graph {
    /**
     * 定义顶点的抽象
     * @param <T>
     */
    public static class Vertex<T>{
        // 要保存的数据
        private T t;
        // 其他和我管理的邻接节点
        private List<Vertex<T>> neighborList;
        private boolean visited = false;
        public Vertex(T t) {
            this.t = t;
        }
    }
    // bfs 广度优先遍历算法
    public static <T> void bfs(Vertex<T> vertex){
        // 1、定义一个临时存储的空间，使用队列
        Queue<Vertex<T>> queue = new ArrayBlockingQueue<>(8);
        // 2、增加一个用来保存已经遍历过的数据的集合
        HashSet<Vertex<T>> mome = new HashSet<>(8);
        // 3、将第一个顶点放入队列
        queue.add(vertex);
        while (!queue.isEmpty()){
            // 将第一个元素拿出来
            Vertex<T> temp = queue.poll();
            // 进行操作
            if (!mome.contains(temp)){
                System.out.println(temp.t);
                mome.add(temp);
            }
            // 将他所有的邻接节点放进去
            if(temp.neighborList != null){
                queue.addAll(temp.neighborList);
            }
        }
    }
}