L3-连续变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布

1. 定义

如果对于随机变量X 的分布函数F ( x )，存在非负函数f ( x ) ，使得对于任意实数x ，有

则称X XX为连续型随机变量，其中函数f ( x ) 称为X的概率密度函数。

概率密度f ( x ) 具有以下性质：

2. 常见连续变量分布

####（1）均匀分布

若随机变量X 的密度函数为

则称随机变量X XX服从区间[ a , b ]上的均匀分布，记作X ∼ U ( a , b )

X的分布函数为

（2）指数分布

若随机变量X的密度函数为

则称随机变量X 服从参数为λ（ λ > 0  为常数）的指数分布。

X 的分布函数为

（3）正态分布

若随机变量X的密度函数为

其中 为参数。

则称随机变量X XX服从参数为( μ , σ ₂ )  的正态分布，记作X ∼ N ( μ , σ ₂ )。

若μ = 0 , σ = 1 ，称N ( 0 , 1 ) 为标准正态分布，密度函数如下：

正态分布密度函数的图形性质：

曲线关于直线x = μ 对称。对于任意h > 0 ，有P { μ − h < X ≤ μ } = P{μ<X≤μ+h}

当x = μ 时，f ( x ) f取到最大值 。x 离μ越远，f ( x ) 的值就越小。对于同样长度的区间，当区间离μ 越远时，随机变量X 落在该区间中的概率就越小。

f ( x ) 在x = μ ± σ处有拐点，并以O x轴为渐近线。

若σ 固定，改变μ的值，则f ( x )的图形沿x 轴平行移动，但不改变其形状。因此f ( x ) 图形的位置完全由参数μ确定。

若μ 固定，改变σ 的值，由于f ( x ) 的最大值为 ，当σ 越小时，f ( x )图形越陡，X 落在μ附近的概率越大；反之，当σ 越大时，f ( x )图形越平坦，X 的取值越分散。

3σ原则：正态分布距离平均值3 σ之外的值出现的概率P { ∣ X − μ ∣ > 3 σ } ≤ 0.003 ，属于极个别的小概率事件。