正文

由中心极限定理可知，许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的，因此正态分布在概率统计中显然有着极为重要的地位。以下给出一些关于正态分布的结论和定理：

设X 1 , X 2 , . . . , X n  为来自总体为X 的容量为n 的一个样本，样本均值与样本方差分别为

则有：

设总体X 服从正态分布 则样本均值X ‾  服从正态分布 即

设总体X 服从正态分布 则统计量u =

设总体X 服从正态分布 ，则统计量 服从自由度为n − 1 分布，即：

设总体X 服从正态分布 ，则

(1). 样本均值X ‾ 与样本方差S^2相互独立。

(2).统计量 服从自由度为n − 1 分布，即：

(3).统计量t = 服从自由度为n − 1 分布，即：

设总体X 服从正态分布N ( μ 1 , σ 1 2 ) 总体Y 服从正态分布N ( μ 2 , σ 2 2 ) 则统计量

服从标准正态分布，即：

设总体X 服从正态分布N ( μ 1 , σ 12 ) 总体Y 服从正态分布N ( μ 2 , σ  2 ) 则

其中

设总体X 服从正态分布N ( μ 1 , σ 1 2 ) 总体Y 服从正态分布N ( μ 2 , σ 2 2 )则

服从自由度为( n 1 − 1 , n 2 − 1 )的F 分布，即

设总体X 服从正态分布N ( μ 1 , σ 1 2 ) 总体Y 服从正态分布N ( μ 2 , σ 2 2 )则统计量 服从自由度为( n 1 − 1 , n 2 − 1 )的F 分布，即

定理3证明：原定理3的“服从自由度为n的卡方分布”修改为“服从自由度为 n − 1  的卡方分布”，定理7也做了修改。附证明：

\

又，因为X i ∼ N ( μ , σ 2 ) 则有：

即，可得：

定理7证明：

根据F FF分布的定义

其中

由定理3可知：

即可得：