正文

离散型随机变量及其分布率

若随机变量X 只能取有限个数值x 1 , x 2 , . . . , x n  或可列无穷多个数值x 1 , x 2 , . . . , x n 则称X 为离散型随机变量

要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须知道X的所有可能取的值以及每一个可能值的概率

定义：设离散型随机变量X XX所有可能的取值为x i ( i = 1 , 2 , . . . ) ，X 取各个可能值的概率，即事件{ X = x i } 的概率为

P { X = x i } = p i ， i = 1 , 2 , . . .

则称该式子为离散型随机变量X XX的分布律。分布律也常用表格形式表示：

由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，因此，由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数，反之亦然。

设F ( x ) 是离散型随机变量X 的分布函数，则X 的分布律

常见的离散型随机变量的概率分布

1、两点分布 B ( 1 , p )

若随机变量的X 只能取x 1  与x 2 ，且它的分布律为

即

则称X 服从参数为p 的两点分布

特别地，当x 1 = 1 ， x 2 = 0 时两点分布也叫( 0 − 1 分布，记为X ∼ ( 0 , 1 ) 分布或X ∼ B ( 1 , p ) X

2、二项分布 B ( n , p )

若随机变量的X 分布律为

则称X XX服从参数为n ， p ( 0 < p < 1 ) n，p(0 < p < 1)n，p(0<p<1)的二项分布，记为B ( n , p ) B(n,p)B(n,p)

可知，若X ∼ B ( n , p ) X \thicksim B(n, p)X∼B(n,p)，X = k X=kX=k就可以用来表示n nn重伯努利试验中事件A AA恰好发生k kk次

二项分布的近似计算

①泊松近似：

泊松近似即泊松定理

当X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，当n nn很大(n ⩾ 40 n\geqslant 40n⩾40)且p pp很小(p ⩽ 0.1 p\leqslant 0.1p⩽0.1)时，可以用泊松分布来近似拟合二项分布，有X ∼ P ( k , n p ) X\sim P(k,np)X∼P(k,np)：

②标准正太近似：

当X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，当n nn充分大时，可以用标准正太分布来近似拟合二项分布，有X ∼ N ( n p , n p ( 1 − p ) ) X\sim N(np,np(1-p))X∼N(np,np(1−p))：

拓展：

多项式展开定理：

幂级数展开定理：

3、泊松分布 P ( k , λ )

泊松定理：设λ > 0 \lambda > 0λ>0是一常数，n nn是正整数。若n p n = λ ，则对任一固定的非负整数k kk有：

若随机变量X 的分布律为

则称X 服从参数为λ \laλ的泊松分布，记为X ∼ P ( λ )或X ∼ P ( k ; λ )

泊松分布的概率值为：