正文

卡方分布

定义

设( X 1 , X 2 , . . . , X n )是来自总体X ∼ N ( 0 , 1 )的一个样本，则称统计量：

所服从的分布是自由度为n 的卡方(χ 2 )分布,记作 自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

卡方随机变量χ 2 ( n ) 的概率密度函数为：

其中，

卡方分布的性质

3.χ2分布的可加性。设 且 相互独立，则：

4.若 则

α分位数

设随机变量X 的分布函数为F ( x ，对于给定的正数α ( 0 < α < 1 ) ，若有x α  满足

则称x α 为分布F ( x )的上的α分位数(或上α分位点)

χ 2 分布上的α 分位数

对于不同自由度n 及不同的数α ( 0 < α < 1 ) ，定义χ α 2  是自由度为n的χ 2 分布的上α 分位数，如果其满足

χ 2 分布的上α 分位数的值可以通过查表得出，当n 较大(n ⩾ 45)时，有近似公式

其中 u_0为标准正态分布的上α \alphaα分位数

t分布

定义

设X ∼ N ( 0 , 1 ) ， Y ∼ χ 2 ( n )，且X 与Y 相互独立，则称统计量：

所服从的分布是自由度为n的t 分布，记为T ∼ t ( n ) ，t 分布又称为学生氏分布。

t 分布的概率密度函数为

t分布图像的性质

t分布的性质

若T ∼ t ( n ) ，则当n > 1 时，有E ( T ) = 0；当n > 2 时，

有当自由度n → ∞ 时，t tt分布将趋向于N ( 0 , 1 )

对于不同自由度n 及不同的数α ( 0 < α < 1 )，若满足

则定义t α  是自由度为n 的t 分布的上α 分位数。t n分布的上α 分位数t α  (n)可查表得出。

F分布

定义

设X ∼ χ 2 ( n 1 )，Y ∼ χ 2 ( n 2 )，且X与Y 相互独立，则称统计量

服从自由度为n 1 和n 2 的F 分布，记作：F ∼ F ( n 1 , n 2 )

F分布的概率密度函数为：

F分布的性质

F 分布的概率密度函数图像与χ 2  分布的概率密度函数类似，都是只取非负值的偏态分布

对于不同自由度n 1 和n 2  及不同的数α ( 0 < α < 1 ) 若满足：

定义F α  是自由度为n 1 n 2  的F 分布的上α分位数。