题目描述
这是 LeetCode 上的 561. 数组拆分 I ，难度为 简单。
Tag : 「贪心算法」
给定长度为 2n 的整数数组 nums ，你的任务是将这些数分成 n 对, 例如 (a1, b1), (a2, b2), ..., (an, bn) ，使得从 1 到 n 的 min(ai, bi) 总和最大。
返回该 最大总和 。
示例 1：
输入：nums = [1,4,3,2] 输出：4 解释：所有可能的分法（忽略元素顺序）为： 1. (1, 4), (2, 3) -> min(1, 4) + min(2, 3) = 1 + 2 = 3 2. (1, 3), (2, 4) -> min(1, 3) + min(2, 4) = 1 + 2 = 3 3. (1, 2), (3, 4) -> min(1, 2) + min(3, 4) = 1 + 3 = 4 所以最大总和为 4 复制代码
示例 2：
输入：nums = [6,2,6,5,1,2] 输出：9 解释：最优的分法为 (2, 1), (2, 5), (6, 6). min(2, 1) + min(2, 5) + min(6, 6) = 1 + 2 + 6 = 9 复制代码
提示：
- 1 <= n <= 10^4104
- nums.length == 2 * n
- -10^4104 <= nums[i] <= 10^4104
贪心解法
我们先对数组进行排序。
由于每两个数，我们只能选择当前小的一个进行累加。
因此我们猜想应该从第一个位置进行选择，然后隔一步选择下一个数。这样形成的序列的求和值最大。
class Solution { public int arrayPairSum(int[] nums) { int n = nums.length; Arrays.sort(nums); int ans = 0; for (int i = 0; i < n; i += 2) ans += nums[i]; return ans; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n\log{n})O(nlogn)
- 空间复杂度：O(\log{n})O(logn)
证明
我们用反证法来证明下，为什么这样选择的序列的求和值一定是最大的：
猜想：对数组进行排序，从第一个位置进行选择，然后隔一步选择下一个数。这样形成的序列的求和值最大（下图黑标，代表当前被选择的数字）。
之所以我们能这么选择，是因为每一个被选择的数的「下一位位置」都对应着一个「大于等于」当前数的值（假设位置为 k ），使得当前数在 min(a,b) 关系中能被选择（下图红标，代表保证前面一个黑标能够被选择的辅助数）。
假如我们这样选择的序列求和不是最大值，那么说明至少我们有一个值选错了，应该选择更大的数才对。
那么意味着我们「某一位置」的黑标应该从当前位置指向更后的位置。
PS. 因为要满足 min(a, b) 的数才会被累加，因此每一个红标右移（变大）必然导致原本所对应的黑标发生「同样程度 或 不同程度」的右移（变大）
这会导致我们所有的红标黑标同时往后平移。
最终会导致我们最后一个黑标出现在最后一位，这时候最后一位黑标不得不与我们第 k 个位置的数形成一对。
我们看看这是求和序列的变化（ k 位置前的求和项没有发生变化，我们从 k 位置开始分析）：
- 原答案 =
nums[k] + nums[k + 2] + ... + nums[n - 1] - 调整后答案 =
nums[k + 1] + nums[k + 3] + ... + nums[n - 2] + min(nums[n], nums[k])
由于 min(nums[n], nums[k]) 中必然是 nums[k] 被选择。因此： 调整后答案 = nums[k] + nums[k + 1] + nums[k + 3] + ... + nums[n - 2]
显然从原答案的每一项都「大于等于」调整后答案的每一项，因此不可能在「假想序列」中通过选择别的更大的数得到更优解，假想得证。
为什么要「证明」或「理解证明」？
证明的意义在于，你知道为什么这样做是对的。
带来的好处是：
- 一道「贪心」题目能搞清楚证明，那么同类的「贪心」题目你就都会做了。否则就会停留在“我知道这道题可以这样贪心，别的题我不确定是否也能这样做”。
- 在「面试」阶段，你可以很清晰讲解你的思路。让面试官从你的「思维方式」上喜欢上你（ emmm 当然从颜值上也可以 :)
...
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最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.561 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。
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