【数学建模】 非线性规划+二次规划（下）

求函数的零点和方程组的解

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二次规划

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二次规划（Quadratic Programming, QP）是线性规划（LP）的一种扩展，它增加了一个二次项。二次规划可以看做一种将线性问题与非凸二次函数联系在一起的技术。其基本形式如下：

其中，x ∈ R n x \in R^nx∈Rn表示待求解的优化变量，P PP为一个n × n n \times nn×n的矩阵，q qq和h hh为n nn维向量，G GG为m × n m \times nm×n矩阵，其中m mm为约束数量。这个问题的目标函数中含有一个二次项x T P x x^TPxxTPx，同时满足一组约束条件。

如果P PP是半正定矩阵，则上述优化问题被称为凸二次规划问题。凸二次规划问题具有通用可行性和求解算法，在数学和工程领域均有广泛应用。二次规划优化问题可以使用凸优化算法如内点法、信赖域法、牛顿法等进行求解。同时还有许多成熟的商业软件和开源库可以用于求解二次规划问题，如 Matlab、CVXPY 等。

需要注意的是，二次规划问题在求解时需要注意矩阵P PP的正定性，因为它直接关系到问题是否有唯一解。如果P PP是不定的，则可能存在无穷多个解，或着根本不存在解。如果P PP是负定的，则目标函数会是无界的。因此，通常情况下我们需要通过约束条件来限制x xx的取值范围，以便避免一些无意义解的出现。

总之，二次规划是处理带二次项的最优化问题的一种通用技术，在实际应用中有许多的使用和扩展，包括经济学、工程设计等领域。

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Matlab是一个广泛使用的科学计算软件，它提供了求解二次规划问题的工具箱。在Matlab中，可以通过以下命令调用QP Solver 工具箱函数来求解一般形式的二次规划问题：

x = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

其中，H和f分别是二次项和线性项的系数，A、b、Aeq、beq分别表示不等式约束矩阵、不等式边界、等式约束矩阵、等式边界，lb和ub分别是优化变量的下界和上界。除了输入参数，quadprog函数还输出了最优解向量 x。

另外，在用Matlab求解二次规划问题时，可以给出一些优化选项来设置求解器的行为。例如，可以使用optimset()函数来指定迭代次数限制、稳定性要求等选项：

options = optimset('MaxIter', 1000);
x = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options);

在以上示例中，创建了一个名为options的结构体，并设定了最大迭代次数为1000。然后将该结构体作为quadprog函数的附加参数之一传递，以实现高级优化控制。

总之，Matlab提供了易于使用的、高效的二次规划求解器，使得处理二次规划问题变得更加容易。除此之外，还有许多其他支持二次规划问题求解的开源工具和商业软件，例如CVX、Gurobi、MOSEK等，可以根据需要进行选用。

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罚函数法

罚函数法（Penalty Method）是将优化问题的等式和不等式约束转化为目标函数中的一类人工惩罚项，以便使用优化算法求解无限制优化问题的方法。由于罚函数法将约束条件作为“代价”来加入优化目标，则在每一次迭代中都能考虑到约束条件，因此比较适合处理约束问题。

对于一个优化问题：

其中，f ( x ) 是需要最小化的目标函数，g i ( x ) 是不等式约束条件，x 是待求解的优化变量。使用罚函数法表示为：

其中，P ( x ) 是一个惩罚项。常见的罚函数可以分为外部罚函数和内部罚函数两类。

外部罚函数法，即将罚函数P ( x ) 定义为满足约束的度量值，有时也被称为“扰动法”。例如，可以定义无穷大系数的单边二次罚函数：

其中，C 是一个足够大的正常数，保证 P 1 ( x ) 只有在约束条件被破坏时才会起作用。同时，如果迭代过程中所得到的解越来越接近约束域，则罚函数项越来越小，从而让原问题越来越接近原问题。

内部罚函数法则将罚函数P ( x ) 定义为目标函数与满足约束条件的距离和或者将满足约束条件的“惩罚项”直接加到目标函数中

其中，μ > 0 是罚函数平衡系数。这种方法通常只考虑不等式约束，并且需要确保不等式约束避免取到零（从而导致log ⁡ ( 0 )无穷大）。

实际上，罚函数法的可行性同样取决于选择合适的罚函数方法。一般而言，外部罚函数容易实现，但收敛速度较慢；内部罚函数精度较高但算法复杂性增加。因此，在使用罚函数法时要综合考虑优化问题本身以及可用内容。

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以下是一个简单的例题，演示如何使用罚函数法求解二次规划问题：

将下面的二次规划问题

转化为无约束问题，并使用罚函数法求解。

首先我们将不等式约束转化为惩罚项。考虑使用外部罚函数法，并定义罚函数为：

可以采用基本的一次或二次惩罚项，即：

其中，C 是足够大的正常数。这些惩罚项保证 P ( x ) > 0 当且仅当一个约束条件被违反时。

然后，将罚函数添加到原问题的目标函数中，得到新的无约束问题：

其中，

接下来，我们可以使用任意优化器（如MATLAB）求解上述无限制最小二乘问题。

非线性规划笔记

https://blog.csdn.net/qq_44528283/article/details/117400926?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522168613588216800192249430%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334…%2522%257D&request_id=168613588216800192249430&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2_alltop_positive~default-1-117400926-null-null.142^v88control_2,239^v2insert_chatgpt&utm_term=%E9%9D%9E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E8%A7%84%E5%88%92&spm=1018.2226.3001.4187