【数学建模】常微分方程

常微分方程

博客园解释

https://www.cnblogs.com/docnan/p/8126460.html

https://www.cnblogs.com/hanxi/archive/2011/12/02/2272597.html

https://www.cnblogs.com/b0ttle/p/ODEaid.html

matlab求解常微分方程

https://www.cnblogs.com/xxfx/p/12460628.html

https://www.cnblogs.com/SunChuangYu/p/13415439.html

https://www.cnblogs.com/tensory/p/6590783.html

高等数学-常微分方程

https://www.cnblogs.com/masterchd/p/14093797.html

常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）是描述未知函数和其导数之间关系的方程。常微分方程在科学和工程领域中广泛应用，用于描述动力系统、物理过程、生物学模型等。

一阶常微分方程的一般形式为：

dy/dt = f(t, y)

其中 y 是未知函数，t 是自变量，f 是已知函数，表示 y 和 t 的关系。这个方程表示 y 对 t 的导数等于 f(t, y)。边界条件或初始条件通常也会给定，例如 y(t0) = y0。

对于高阶常微分方程，可以通过引入新的变量来将其转化为一阶方程组。例如，一个二阶常微分方程可以表示为：

d²y/dt² = g(t, y, dy/dt)

通过引入新的变量，如令 v = dy/dt，则可以将上述方程转化为一阶方程组：

dy/dt = v

dv/dt = g(t, y, v)

解常微分方程的过程通常包括以下步骤：

1. 定义问题：明确常微分方程形式及边界条件。
   
2. 分类：根据常微分方程的类型和特点，选择合适的方法进行求解。常见的方法包括欧拉法、龙格-库塔法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
   
3. 数值求解：将常微分方程离散化为差分方程，根据选定的数值方法进行迭代计算。时间步长的选择会影响求解结果的精度和稳定性。
   
4. 边界条件处理：对于边界条件或初始条件给定的情况，将其纳入求解过程中。
   
5. 结果分析：根据求解得到的数值结果，进行后续的分析和应用。可以进行图形绘制、参数敏感性分析、稳定性分析等。
   

请注意，解常微分方程可能需要适当的数值方法和计算机编程技巧。Matlab、Python等计算工具都提供了强大的数值计算和求解常微分方程的工具包，可以辅助进行求解。

总结起来，常微分方程是描述未知函数和其导数之间关系的方程。求解常微分方程通常涉及定义问题、分类、数值求解、边界条件处理和结果分析等步骤。通过合适的数值方法和计算工具，我们可以得到常微分方程的数值解，并进行进一步的分析和应用。

当涉及到常微分方程的解析解时，一般针对特定类型的常微分方程有一些经典的解法。以下介绍几种常见的常微分方程解法：

1. 可分离变量法：适用于形如 dy/dt = g(t)h(y) 的方程。通过将方程两边进行变量分离并积分，可以将方程求解为 y 的函数。
   
2. 线性常微分方程的常数变易法：适用于形如 dy/dt + p(t)y = q(t) 的一阶线性常微分方程。通过引入一个积分因子，将方程转化为可直接积分的形式。
   
3. 齐次方程法：适用于形如 dy/dt = f(y/t) 的方程。通过引入新的变量，将方程转化为分离的变量形式或者以变量代换的方式求解。
   
4. 恰当方程法：对于形如 M(t, y) + N(t, y)dy/dt = 0 的方程，如果存在一个函数 u(t, y)，使得 ∂M/∂y = ∂N/∂t，则该方程是恰当方程。求解恰当方程的关键是找到一个 u(t, y)，并利用 u(t, y) 的全微分性质进行积分。
   

需要注意的是，并非所有的常微分方程都存在解析解。对于很多复杂的常微分方程，没有解析解或者很难获得解析解。在这种情况下，数值方法是求解常微分方程的常见选择。数值方法通过离散化微分方程并进行迭代计算，近似地求解微分方程。

常用的数值方法包括：欧拉法、龙格-库塔法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。这些方法通过将微分方程转化为差分方程，并利用适当的迭代格式进行数值计算。

总而言之，解常微分方程可以采用解析解法或数值解法。具体选择哪种方法取决于问题的性质和可行性。对于简单的方程，我们可以尝试使用解析解法；对于更复杂的方程或无解析解的情况，数值方法可以提供有效的求解工具。

当涉及到使用 MATLAB 结合求解常微分方程时，MATLAB 提供了强大的数值计算和求解常微分方程的工具包，如ode45、ode23、ode15s等。

以下是一般步骤：

1. 定义常微分方程：将常微分方程表示为 MATLAB 函数形式。例如，如果要求解 dy/dt = f(t, y)，则可以创建一个函数文件，将右侧的 f(t, y) 实现为 MATLAB 函数。

function dydt = myODE(t, y)
    dydt = f(t, y);  % 根据具体问题实现 f(t, y)
end

2. 设置初始条件：指定常微分方程的初始条件。例如，如果初始条件为 y(t0) = y0，则可以定义初始时间和初始状态向量。

t0 = 0;   % 初始时间
y0 = 1;   % 初始状态

3. 设置求解参数：选择合适的求解方法，并设置相应的求解参数。常用的求解方法如 ode45、ode23、ode15s 等，具体选择取决于问题的性质和精度要求。
   
4. 调用求解器函数：使用选择的求解方法，调用相应的求解器函数来求解常微分方程。传递相应的输入参数，包括定义的常微分函数、初始时间、初始状态、求解参数等。
   

[t, y] = ode45(@myODE, [t0, tf], y0, options);

其中，@myODE 是定义的常微分函数的函数句柄，[t0, tf] 是求解时间区间，y0 是初始状态向量，options 是求解参数。

5. 分析和可视化结果：根据求解得到的结果，进行进一步的分析和可视化。可以绘制时间与状态变量之间的图形，观察系统的动态行为。

plot(t, y);
xlabel('时间');
ylabel('状态变量');
title('常微分方程求解结果');

在 MATLAB 中，除了使用数值方法求解常微分方程外，还可以尝试使用符号计算工具箱来获得常微分方程的解析解。

1. 符号变量定义：首先，使用符号计算工具箱创建符号变量。假设我们要解决一阶常微分方程 dy/dt = f(t, y)，可以定义符号变量 t 和 y。

syms t y

2. 建立方程：将常微分方程转换为符号表达式。根据具体问题，将 f(t, y) 替换成实际的函数表达式。

dydt = f(t, y);  % 替换为实际的函数表达式

3. 求解常微分方程：使用 dsolve 函数对常微分方程进行求解。将常微分方程和初始条件作为输入参数传递给 dsolve 函数。

eqn = diff(y, t) == dydt;  % 构建微分方程
cond = y(t0) == y0;        % 设置初始条件
ySol(t) = dsolve(eqn, cond);

其中，eqn 是微分方程，cond 是初始条件，ySol 是求解得到的符号表达式。

4. 分析和可视化结果：对求解得到的符号表达式进行进一步的分析和可视化。可以使用 subs 函数将符号表达式中的符号变量替换为具体的数值，并绘制结果。

ySol_numeric = subs(ySol, t, t_values);  % 替换 t 为具体的数值
plot(t_values, ySol_numeric);
xlabel('时间');
ylabel('状态变量');
title('常微分方程解析解');

这样，你可以使用 MATLAB 的符号计算工具箱来获得常微分方程的解析解。需要注意，在复杂的情况下，可能无法获得解析解或者结果比较复杂。此时，可以考虑使用数值方法来近似求解常微分方程。

在科学、工程和其他领域中，常微分方程的应用非常广泛。以下是一些常见的应用领域：

1. 物理学：常微分方程在物理学中的应用非常广泛。例如，牛顿定律可以表示为二阶常微分方程，用于描述物体的运动。电路中的电流和电压也可以通过常微分方程来描述。
   
2. 工程学：常微分方程在工程学中扮演重要角色。例如，在控制系统中，可以使用常微分方程来建模和分析系统的动态响应。热传导、质量平衡等过程也可以用常微分方程描述。
   
3. 经济学：常微分方程在经济学中有广泛的应用。用于建立经济模型，预测市场变化和分析经济行为。经济增长模型、消费者行为模型等都可以通过常微分方程来描述。
   
4. 生物学：生物学中许多生物过程也可以用常微分方程来建模。例如，生物种群动力学、生物反应动力学等。常微分方程在神经科学、生物化学等领域也有应用。
   
5. 计算机科学：常微分方程在计算机图形学、物理模拟等方面有应用。例如，在计算机动画中，可以使用常微分方程来模拟物体的运动和变形。
   

这些只是常微分方程应用的一小部分示例，实际上常微分方程在各个领域都有广泛的应用。通过求解常微分方程，我们可以预测系统的行为、优化设计、解释实验数据等，对问题的理解和解决提供了重要工具。

View Code

//differential.cpp#include using namespace std;#include <math.h>float h, //步长 x00, //x的取值范围 xn, // x0< x < xn y00; //初值float x[21];//结果float y[21];void Euler(){ init(); x[0] = x00; y[0] = y00; for (int i=1; i<=(xn-x00)/h+1; i++) { x[i] = x[i-1] + h; y[i] = y[i-1] + h * f(x[i-1],y[i-1]); }}