数学建模——微分方程介绍

一、基础知识

1、一阶微分方程

称为一阶微分方程。y(x0)=y0为定解条件。

其常规求解方法：

（1）变量分离

再两边积分就可以求出通解。

（2）一阶线性求解公式

通解公式：

有些一阶微分方程需要通过整体代换，比如u=x+y,u=xy,u=x/y,u=1/yn等化为以上两种类型求解后再还原。

2、二阶常系数微分方程

【1】

【2】

【1】为齐次，【2】为非齐次。

2.1 齐次【1】的通解构造

为【1】的特征方程。

（1）若特征方程有两个不同实根 【1】通解为

（2）若特征方程有重根 【1】的通解为

（3）若特征方程有一对共轭复根 【1】通解为

2.2 非齐次【2】的通解

（1）若y*是【2】的一个特解，则【2】的通解为

（2）若y1*是 的一个特解，y2* 的一个特解，则微分方程 的通解为

3、微分方程稳定性理论简介

3.1 一阶微分方程的平衡点及稳定性

【3】

【3】的右端不含自变量t，称为自治方程，代数方程 f(x)=0的实根x=x0称为【1】的平衡点（奇点），它也是【1】的解（奇解）。

如果方程[3]的解从某个x(0)出发，满足 【4】

则称平衡点x0是稳定的，否则就不稳定。

若f(x)可微，则将f(x)在x0附近做一阶Taylor展开，则（1）就近似表达为 【5】

当x-x00时R1(x)是高阶无穷小。则[5]是【1】的近似线性方程，x0也是[5]的平衡点，关于x0的稳定性，有如下结论：

（1）若 x0对于【5】是稳定的；

（2）若 x0对于【5】是不稳定的；

3.2 二元方程的平衡点及稳定性

【6】

【6】右端不显含t，称为自治方程，方程组 【7】

的根x1=x10,x2=x20称为【6】的平衡点，记为p0(x10,x20).

如果 【8】

称p0为稳定的；否则称为不稳定的。

（1）线性常系数方程的稳定性讨论

【9】

设【9】的系数矩阵为A，当|A|≠0时，【9】有唯一的平衡点p0(0,0)。若A有两个特征根

【10】

（1*）若两个特征根都为负数或有负实部，则p0是平稳的；即p>0,q>0，平衡点稳定；

（2*）若两个特征根有一个为正或正实部，则p0是不稳定的。即p<0或q<0，平衡点不稳定；

（2）非线性二元方程，在p0(x10,x20)的稳定性讨论方法如下：

剩下的判断方法同上。