神经网络内容练习

由于数据集与上次练习中使用的数据集相同，我们将重新使用上次的代码来加载数据。 上传参考链接：https://developer.aliyun.com/ask/260171

import numpy as np  
import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
from scipy.io import loadmat  
%matplotlib inline

data = loadmat('data/ex3data1.mat')  
data

{'X': array([[ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        ..., 
        [ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0., ...,  0.,  0.,  0.]]),
 '__globals__': [],
 '__header__': 'MATLAB 5.0 MAT-file, Platform: GLNXA64, Created on: Sun Oct 16 13:09:09 2011',
 '__version__': '1.0',
 'y': array([[10],
        [10],
        [10],
        ..., 
        [ 9],
        [ 9],
        [ 9]], dtype=uint8)}

我们以后需要和经常使用变量，先创建一些有用的变量。

X = data['X']  
y = data['y']  
X.shape, y.shape

((5000L, 400L), (5000L, 1L)
)```  
我们还需要对标签进行专有热编码。专有热编码将类标签\（n \）（出于\（k \）类）转换为长度\（k \）的向量，其中索引\（n \）为“ hot”（1），其余为零。scikit-学习有一个内置的实用工具，我们可以使用它。
```js
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder  
encoder = OneHotEncoder(sparse=False)  
y_onehot = encoder.fit_transform(y)  
y_onehot.shape

(5000L, 10L)

为这个练习创建的神经网络具有与我们实例数据（400 +偏差单元）大小匹配的输入层，25个单位的隐藏层（带有26个偏差单元）和10个单位的输出层对应我们的独热编码类标签。我们需要实现成本函数，用它来评估一组给定的神经网络参数的损失，源数学函数有助于将成本函数分解成多个。以下是计算成本所需的函数。

def sigmoid(z):  
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def forward_propagate(X, theta1, theta2):  
    m = X.shape[0]

    a1 = np.insert(X, 0, values=np.ones(m), axis=1)
    z2 = a1 * theta1.T
    a2 = np.insert(sigmoid(z2), 0, values=np.ones(m), axis=1)
    z3 = a2 * theta2.T
    h = sigmoid(z3)

    return a1, z2, a2, z3, h

def cost(params, input_size, hidden_size, num_labels, X, y, learning_rate):  
    m = X.shape[0]
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)

    # reshape the parameter array into parameter matrices for each layer
    theta1 = np.matrix(np.reshape(params[:hidden_size * (input_size + 1)], (hidden_size, (input_size + 1))))
    theta2 = np.matrix(np.reshape(params[hidden_size * (input_size + 1):], (num_labels, (hidden_size + 1))))

    # run the feed-forward pass
    a1, z2, a2, z3, h = forward_propagate(X, theta1, theta2)

    # compute the cost
    J = 0
    for i in range(m):
        first_term = np.multiply(-y[i,:], np.log(h[i,:]))
        second_term = np.multiply((1 - y[i,:]), np.log(1 - h[i,:]))
        J += np.sum(first_term - second_term)

    J = J / m

    return J

我们之前已经使用过sigmoid函数。正向传播函数计算给定当前参数的每个训练实例的假设（换句话说，给定神经网络当前的状态和一组输入，它能计算出神经网络每一层假设向量（由\（h \）表示）的形状，包含了每个类的预测概率，应该与y的独热编码相匹配。最后成本函数运行正向传播步，并计算实例的假设（预测）和真实标签之间的误差。

可以快速测试一下它是否按预期的工作。从中间步骤中看到的输出也有助于了解发生了什么。

# initial setup
input_size = 400  
hidden_size = 25  
num_labels = 10  
learning_rate = 1

# randomly initialize a parameter array of the size of the full network's parameters
params = (np.random.random(size=hidden_size * (input_size + 1) + num_labels * (hidden_size + 1)) - 0.5) * 0.25

m = X.shape[0]  
X = np.matrix(X)  
y = np.matrix(y)

# unravel the parameter array into parameter matrices for each layer
theta1 = np.matrix(np.reshape(params[:hidden_size * (input_size + 1)], (hidden_size, (input_size + 1))))  
theta2 = np.matrix(np.reshape(params[hidden_size * (input_size + 1):], (num_labels, (hidden_size + 1))))

theta1.shape, theta2.shape

((25L, 401L), (10L, 26L))

a1, z2, a2, z3, h = forward_propagate(X, theta1, theta2)  
a1.shape, z2.shape, a2.shape, z3.shape, h.shape

((5000L, 401L), (5000L, 25L), (5000L, 26L), (5000L, 10L), (5000L, 10L))

计算假设矩阵\（h \）后的成本函数，用成本方程式计算\（y \）和\（h \）之间的总偏差。

cost(params, input_size, hidden_size, num_labels, X, y_onehot, learning_rate)

6.8228086634127862

下一步是在成本函数中增加正则化，增加了与参数大小相关的惩罚项。这个方程式可以归结为一行代码，将其添加到成本函数中。只需在返回语句之前添加以下内容。

J+= (float(learning_rate)/ (2 * m))* (np.sum(np.power(theta1[:,1:],2))+ np.sum(np.power(theta2[:,1:],2)))

接下来是反向传播算法，反向传播算法计算参数更新以减少训练数据的误差。我们首先需要的是一个函数，用来计算我们先前创建的Sigmoid函数梯度。

def sigmoid_gradient(z): 
    return np.multiply(sigmoid(z), (1 - sigmoid(z)))

现在我们准备用反向传播算法来计算梯度，由于反向传播算法所需的计算是成本函数要求的超集，我们将扩展成本函数来执行反向传播算法，并返回成本和梯度函数。 backprop函数中调用了现有的成本函数来使设计更加正确的原因是，backprop函数使用了成本函数计算的一些其他变量。我跳过了完整的实现，添加了渐变正则化。

def backprop(params, input_size, hidden_size, num_labels, X, y, learning_rate):  
    ##### this section is identical to the cost function logic we already saw #####
    m = X.shape[0]
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)

    # reshape the parameter array into parameter matrices for each layer
    theta1 = np.matrix(np.reshape(params[:hidden_size * (input_size + 1)], (hidden_size, (input_size + 1))))
    theta2 = np.matrix(np.reshape(params[hidden_size * (input_size + 1):], (num_labels, (hidden_size + 1))))

    # run the feed-forward pass
    a1, z2, a2, z3, h = forward_propagate(X, theta1, theta2)

    # initializations
    J = 0
    delta1 = np.zeros(theta1.shape)  # (25, 401)
    delta2 = np.zeros(theta2.shape)  # (10, 26)

    # compute the cost
    for i in range(m):
        first_term = np.multiply(-y[i,:], np.log(h[i,:]))
        second_term = np.multiply((1 - y[i,:]), np.log(1 - h[i,:]))
        J += np.sum(first_term - second_term)

    J = J / m

    # add the cost regularization term
    J += (float(learning_rate) / (2 * m)) * (np.sum(np.power(theta1[:,1:], 2)) + np.sum(np.power(theta2[:,1:], 2)))

    ##### end of cost function logic, below is the new part #####

    # perform backpropagation
    for t in range(m):
        a1t = a1[t,:]  # (1, 401)
        z2t = z2[t,:]  # (1, 25)
        a2t = a2[t,:]  # (1, 26)
        ht = h[t,:]  # (1, 10)
        yt = y[t,:]  # (1, 10)

        d3t = ht - yt  # (1, 10)

        z2t = np.insert(z2t, 0, values=np.ones(1))  # (1, 26)
        d2t = np.multiply((theta2.T * d3t.T).T, sigmoid_gradient(z2t))  # (1, 26)

        delta1 = delta1 + (d2t[:,1:]).T * a1t
        delta2 = delta2 + d3t.T * a2t

    delta1 = delta1 / m
    delta2 = delta2 / m

    # add the gradient regularization term
    delta1[:,1:] = delta1[:,1:] + (theta1[:,1:] * learning_rate) / m
    delta2[:,1:] = delta2[:,1:] + (theta2[:,1:] * learning_rate) / m

    # unravel the gradient matrices into a single array
    grad = np.concatenate((np.ravel(delta1), np.ravel(delta2)))

    return J, grad

成本函数的第一部分通过“神经网络”（正向传播函数）运行数据和当前参数来计算误差，将输出与真实标签作比较。数据集的总误差表示为\（J \）。这部分是我们之前的过的成本函数。

成本函数的其余部分的本质是回答“下次运行网络时，如何调整参数以减少误差？”，它通过计算每层的贡献与总误差，提出“梯度”矩阵（或者改变参数和方向）进行适当调整。

backprop计算中最难的部分是获取矩阵维度。顺便说一下，不是只有你对使用A * B和np.multiply（A，B）感到疑惑。

让我们测试一下，以确保函数返回我们所期望的。

J, grad = backprop(params, input_size, hidden_size, num_labels, X, y_onehot, learning_rate)  
J, grad.shape

(6.8281541822949299, (10285L,))

最后训练我们的神经网络，利用它做出的预测，这和先前的多层次逻辑回归大致相同。

from scipy.optimize import minimize

# minimize the objective function
fmin = minimize(fun=backprop, x0=params, args=(input_size, hidden_size, num_labels, X, y_onehot, learning_rate),  
                method='TNC', jac=True, options={'maxiter': 250})
fmin

status: 3
success: False
   nfev: 250
    fun: 0.33900736818312283
      x: array([ -8.85740564e-01,   2.57420350e-04,  -4.09396202e-04, ...,
        1.44634791e+00,   1.68974302e+00,   7.10121593e-01])
message: 'Max. number of function evaluations reach'
    jac: array([ -5.11463703e-04,   5.14840700e-08,  -8.18792403e-08, ...,
       -2.48297749e-04,  -3.17870911e-04,  -3.31404592e-04])
    nit: 21

由于目标函数不太可能完全收敛，我们对迭代次数进行限制。我们的总成本已经下降到0.5以下，这是算法正常工作的一个指标。我们用它找到的参数，然后通过神经网络正向传播它们以获得一些预测。我们必须重构优化器的输出，以匹配神经网络所期望的参数矩阵形状，然后运行正向传播函数以生成输入数据的假设。

X = np.matrix(X)  
theta1 = np.matrix(np.reshape(fmin.x[:hidden_size * (input_size + 1)], (hidden_size, (input_size + 1))))  
theta2 = np.matrix(np.reshape(fmin.x[hidden_size * (input_size + 1):], (num_labels, (hidden_size + 1))))

a1, z2, a2, z3, h = forward_propagate(X, theta1, theta2)  
y_pred = np.array(np.argmax(h, axis=1) + 1)  
y_pred

array([[10],
       [10],
       [10],
       ..., 
       [ 9],
       [ 9],
       [ 9]], dtype=int64)

最后计算准确度以观察我们训练过的神经网络的工作状况

correct = [1 if a == b else 0 for (a, b) in zip(y_pred, y)]  
accuracy = (sum(map(int, correct)) / float(len(correct)))  
print 'accuracy = {0}%'.format(accuracy * 100)

accuracy = 99.22%

我们完成了，我们已经成功地实施了一个基本的反向传播的前馈式神经网络，并用它来分类手写数字图像。