逻辑回归内容练习

逻辑回归
逻辑回归实际上是一种分类算法。我怀疑它这样命名是因为它与线性回归在学习方法上很相似，但是成本和梯度函数表述不同。特别是，逻辑回归使用了一个sigmoid或“logit”激活函数，而不是线性回归的连续输出。

首先导入和检查我们将要处理的数据集。

import numpy as np  
import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
%matplotlib inline

import os  
path = os.getcwd() + '\data\ex2data1.txt'  
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])  
data.head()

在数据中有两个连续的自变量——“Exam 1”和“Exam 2”。我们的预测目标是“Admitted”的标签。值1表示学生被录取，0表示学生没有被录取。我们看有两科成绩的散点图，并使用颜色编码来表达例子是positive或者negative。

positive = data[data['Admitted'].isin([1])]  
negative = data[data['Admitted'].isin([0])]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))  
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=50, c='b', marker='o', label='Admitted')  
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=50, c='r', marker='x', label='Not Admitted')  
ax.legend()  
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')  
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

从这个图中我们可以看到，有一个近似线性的决策边界。它有一点弯曲，所以我们不能使用直线将所有的例子正确地分类，但我们能够很接近。现在我们需要实施逻辑回归，这样我们就可以训练一个模型来找到最优决策边界，并做出分类预测。首先需要实现sigmoid函数。

def sigmoid(z):  
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

这个函数是逻辑回归输出的“激活”函数。它将连续输入转换为0到1之间的值。这个值可以被解释为分类概率，或者输入的例子应该被积极分类的可能性。利用带有界限值的概率，我们可以得到一个离散标签预测。它有助于可视化函数的输出，以了解它真正在做什么。

nums = np.arange(-10, 10, step=1)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))  
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

我们的下一步是写成本函数。成本函数在给定一组模型参数的训练数据上评估模型的性能。这是逻辑回归的成本函数。

def cost(theta, X, y):  
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X * theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))
    return np.sum(first - second) / (len(X))

注意，我们将输出减少到单个标量值，该值是“误差”之和，是模型分配的类概率与示例的真实标签之间差别的量化函数。该实现完全是向量化的——它在语句(sigmoid(X * theta.T))中计算模型对整个数据集的预测。

测试成本函数以确保它在运行，首先需要做一些设置。

# add a ones column - this makes the matrix multiplication work out easier
data.insert(0, 'Ones', 1)

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]  
X = data.iloc[:,0:cols-1]  
y = data.iloc[:,cols-1:cols]

# convert to numpy arrays and initalize the parameter array theta
X = np.array(X.values)  
y = np.array(y.values)  
theta = np.zeros(3)

检查数据结构的形状，以确保它们的值是合理的。这种技术在实现矩阵乘法时非常有用

X.shape, theta.shape, y.shape

((100L, 3L), (3L,), (100L, 1L))

现在计算初始解的成本，将模型参数“theta”设置为零。

cost(theta, X, y)

0.69314718055994529

我们已经有了工作成本函数，下一步是编写一个函数，用来计算模型参数的梯度，以找出改变参数来提高训练数据模型的方法。在梯度下降的情况下，我们不只是在参数值周围随机地jigger，看看什么效果最好。并且在每次迭代训练中，我们通过保证将其移动到减少训练误差(即“成本”)的方向来更新参数。我们可以这样做是因为成本函数是可微分的。这是函数。

def gradient(theta, X, y):  
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)

    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    grad = np.zeros(parameters)

    error = sigmoid(X * theta.T) - y

    for i in range(parameters):
        term = np.multiply(error, X[:,i])
        grad[i] = np.sum(term) / len(X)

    return grad

我们并没有在这个函数中执行梯度下降——我们只计算一个梯度步骤。在练习中，使用“fminunc”的Octave函数优化给定函数的参数，以计算成本和梯度。因为我们使用的是Python，所以我们可以使用SciPy的优化API来做同样的事情。

import scipy.optimize as opt  
result = opt.fmin_tnc(func=cost, x0=theta, fprime=gradient, args=(X, y))  
cost(result[0], X, y)

0.20357134412164668

现在我们的数据集里有了最优模型参数，接下来我们要写一个函数，它使用我们训练过的参数theta来输出数据集X的预测，然后使用这个函数为我们分类器的训练精度打分。

def predict(theta, X):  
    probability = sigmoid(X * theta.T)
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in probability]

theta_min = np.matrix(result[0])  
predictions = predict(theta_min, X)  
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]  
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))  
print 'accuracy = {0}%'.format(accuracy)

accuracy = 89%

我们的逻辑回归分类器预测学生是否被录取的准确性可以达到89%，这是在训练集中的精度。我们没有保留一个hold-out set或使用交叉验证来获得准确的近似值，所以这个数字可能高于实际的值。

正则化逻辑回归
既然我们已经有了逻辑回归的工作实现，我们将通过添加正则化来改善算法。正则化是成本函数的一个条件，使算法倾向于更简单的模型（在这种情况下，模型会减小系数），原理就是帮助减少过度拟合和帮助模型提高通用化能力。我们使用逻辑回归的正则化版本去解决稍带挑战性的问题， 想象你是工厂的产品经理，你有一些芯片在两种不同测试上的测试结果。通过两种测试，你将会决定那种芯片被接受或者拒绝。为了帮助你做这个决定，你将会有以往芯片的测试结果数据集，并且通过它建立一个逻辑回归模型。

现在可视化数据。

path = os.getcwd() + '\data\ex2data2.txt'  
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Test 1', 'Test 2', 'Accepted'])

positive = data2[data2['Accepted'].isin([1])]  
negative = data2[data2['Accepted'].isin([0])]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))  
ax.scatter(positive['Test 1'], positive['Test 2'], s=50, c='b', marker='o', label='Accepted')  
ax.scatter(negative['Test 1'], negative['Test 2'], s=50, c='r', marker='x', label='Rejected')  
ax.legend()  
ax.set_xlabel('Test 1 Score')  
ax.set_ylabel('Test 2 Score')

这个数据看起来比以前的例子更复杂，你会注意到没有线性决策线，数据也执行的很好，处理这个问题的一种方法是使用像逻辑回归这样的线性技术，就是构造出由原始特征多项式派生出来的特征。我们可以尝试创建一堆多项式特性以提供给分类器。

degree = 5  
x1 = data2['Test 1']  
x2 = data2['Test 2']

data2.insert(3, 'Ones', 1)

for i in range(1, degree):  
    for j in range(0, i):
        data2['F' + str(i) + str(j)] = np.power(x1, i-j) * np.power(x2, j)

data2.drop('Test 1', axis=1, inplace=True)  
data2.drop('Test 2', axis=1, inplace=True)

data2.head()

现在我们需要去修改成本和梯度函数以包含正则项。在这种情况下，将正则化矩阵添加到之前的计算中。这是更新后的成本函数。

def costReg(theta, X, y, learningRate):  
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X * theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))
    reg = (learningRate / 2 * len(X)) * np.sum(np.power(theta[:,1:theta.shape[1]], 2))
    return np.sum(first - second) / (len(X)) + reg

我们添加了一个名为“reg”的新变量，它是参数值的函数。随着参数越来越大，对成本函数的惩罚也越来越大。我们在函数中添加了一个新的“learning rate”参数。 这也是等式中正则项的一部分。 learning rate为我们提供了一个新的超参数，我们可以使用它来调整正则化在成本函数中的权重。

接下来，我们将在梯度函数中添加正则化。

def gradientReg(theta, X, y, learningRate):  
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)

    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    grad = np.zeros(parameters)

    error = sigmoid(X * theta.T) - y

    for i in range(parameters):
        term = np.multiply(error, X[:,i])

        if (i == 0):
            grad[i] = np.sum(term) / len(X)
        else:
            grad[i] = (np.sum(term) / len(X)) + ((learningRate / len(X)) * theta[:,i])

    return grad

与成本函数一样，将正则项加到最初的计算中。与成本函数不同的是，我们包含了确保第一个参数不被正则化的逻辑。这个决定背后的直觉是，第一个参数被认为是模型的“bias”或“intercept”，不应该被惩罚。

我们像以前那样测试新函数

# set X and y (remember from above that we moved the label to column 0)
cols = data2.shape[1]  
X2 = data2.iloc[:,1:cols]  
y2 = data2.iloc[:,0:1]

# convert to numpy arrays and initalize the parameter array theta
X2 = np.array(X2.values)  
y2 = np.array(y2.values)  
theta2 = np.zeros(11)

learningRate = 1

costReg(theta2, X2, y2, learningRate)

0.6931471805599454

我们能使用先前的最优代码寻找最优模型参数。

result2 = opt.fmin_tnc(func=costReg, x0=theta2, fprime=gradientReg, args=(X2, y2, learningRate))  
result2

(数组([ 0.35872309, -3.22200653, 18.97106363, -4.25297831, 18.23053189, 20.36386672, 8.94114455, -43.77439015, -17.93440473, -50.75071857, -2.84162964]), 110, 1)

最后，我们可以使用前面应用的相同方法，为训练数据创建标签预测，并评估模型的性能。

theta_min = np.matrix(result2[0])  
predictions = predict(theta_min, X2)  
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y2)]  
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))  
print 'accuracy = {0}%'.format(accuracy)

准确度 = 91%