《量化金融R语言初级教程》一1.4 波动率建模

简介:

本节书摘来异步社区《量化金融R语言初级教程》一书中的第1章,第1.4节,作者: 【匈牙利】Gergely Daróczi(盖尔盖伊) , 等 译者: 高蓉 , 李茂 责编: 胡俊英,更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.4 波动率建模

正如我们之前所见,ARIMA模型常常用于过程的过去值已知时的条件期望建模。过去值已知的过程的条件方差是常数。真实世界的金融时间序列存在着波动性聚集和其他特点,换句话说,突发波动率打破了相对稳定的时期。

在这一节中,我们来考查GARCH时间序列模型。GARCH模型研究真实世界的(金融)时间序列的这个典型化事实——波动性聚集,并进一步运用这些模型预测在险价值(Value at Risk,VaR)。

1.4.1 风险管理的波动率预测

金融机构使用VaR来度量他们的活动风险,通常在10个工作日范围内计算置信水平为99%的临界值。这意味着在这10天内,只有1%的时间会出现预期损失超过临界值。

我们载入zoo包并导入英特尔公司的月收益率数据,时间范围从1973年1月~2008年12月。

> library("zoo")
> intc <- read.zoo("intc.csv", header = TRUE,
+  sep = ",",  format = "%Y-%m", FUN = as.yearmon)

1.4.2 检验ARCH效应

收益率图形表明,在月收益率数据中可能存在ARCH效应。

> plot(intc, main = "Monthly returns of Intel Corporation",
+  xlab = "Date", ylab = "Return in percent")

上面命令的输出在图1-3中显示。


3

我们可以使用统计假设检验来验证自己的想法。两种常用检验如下。

用于平方收益率(波动率的一种代理)自相关的Ljung-Box检验。
Engle(1982年)提出的拉格朗日乘子(LM)检验。
首先,我们运行下面的命令,从而在平方收益率的前12阶滞后值上执行Ljung-Box检验。

> Box.test(coredata(intc^2), type = "Ljung-Box", lag = 12)

  Box-Ljung test

data: coredata(intc^2)
X-squared = 79.3451, df = 12, p-value = 5.502e-12

我们可以在1%的置信水平上拒绝原假设,原假设是平方收益率中不存在自相关。或者,我们可以使用FinTS包的LM检验,它输出相同的结果。

> install.packages("FinTS")
> library("FinTS")
> ArchTest(coredata(intc))

  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

data: coredata(intc)
Chi-squared = 59.3647, df = 12, p-value = 2.946e-08

两种检验都确定了英特尔的月收益率中存在ARCH效应。因此,收益率时间序列的建模应该使用ARCH或GARCH模型。

1.4.3 GARCH模型设定

GARCH(1,1)模型是GARCH模型中最常用的一种,也是一种最适于金融时间序列建模的模型。我们使用rugarch包提供的函数来设定模型、估计参数、回测以及预测。如果你还没有安装这个包,运行下面的命令。

> install.packages("rugarch")

然后,我们可以运行下面的命令来载入这个包。

> library("rugarch")

首先,我们需要使用函数ugarchspec设定模型。对于一个GARCH(1,1)模型,我们需要设置garchOrder为c(1,1)。而且均值模型(mean.model)是一个白噪声过程,因此等同于armaOrder = c(0,0)。

> intc_garch11_spec <- ugarchspec(variance.model = list(
+  garchOrder = c(1, 1)),
+ mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)))

1.4.4 GARCH模型估计

通过ugarchfit函数设定模型,输入为收益率数据,就可以用极大似然方法精确拟合模型的系数。

> intc_garch11_fit <- ugarchfit(spec = intc_garch11_spec,
+ data = intc)

其他参数的使用请参见ugarchfit的帮助文档。拟合模型的输出(使用命令intc_garch11_fit)展示了有用信息,比如最优参数值、对数似然函数值,以及信息准则。

1.4.5 回测风险模型

检验模型表现的有效方法是历史回测。在回测风险模型时,我们对比整个时期的真实收益率和估计的VaR。如果收益率比VaR损失更大,我们得到一次VaR突破(VaR exceedance)。在我们的例子中,一次VaR突破应该仅仅发生在1%的情形中(因为我们设定了置信区间为99%)。

函数ugarchroll对一个设定的GARCH模型(在这里,这个模型是intc_garch11_spec)执行历史回测。我们指定回测如下。

使用的收益率数据存储在zoo对象intc中。
回测的起始期(n.start)应该是序列开始(就是1983年1月)时的前120个月。
每月都需要重新估计模型(refit.every = 1)。
我们使用移动(moving)窗口来估计。
我们使用一个混合(hybrid)的解决方法。
我们希望计算VAR在99%的尾部置信水平上(VaR.alpha = 0.01)的临界值(calculate.VaR = TRUE)。
我们希望保留估计的系数(keep.coef = TRUE)。
下面的命令显示了满足上述所有要求的回测。

> intc_garch11_roll <- ugarchroll(intc_garch11_spec, intc,
+  n.start = 120, refit.every = 1, refit.window = "moving",
+  solver = "hybrid", calculate.VaR = TRUE, VaR.alpha = 0.01,
+  keep.coef = TRUE)

我们可以使用report函数检查回测报告。通过把这个参数的type参数设定为VaR,这个函数对突破值执行无条件和有条件覆盖检验。VaR.alpha是尾部概率,conf.level是置信区间,条件覆盖的假设检验基于此建立。

> report(intc_garch11_roll, type = "VaR", VaR.alpha = 0.01,
+conf.level = 0.99)
VaR Backtest Report
===========================================
Model:      sGARCH-norm
Backtest Length:  312
Data:

==========================================
alpha:       1%
Expected Exceed:   3.1
Actual VaR Exceed:  5
Actual %:      1.6%

Unconditional Coverage (Kupiec)
Null-Hypothesis:  Correct Exceedances
LR.uc Statistic:  0.968
LR.uc Critical:   6.635
LR.uc p-value:   0.325
Reject Null:   NO

Conditional Coverage (Christoffersen)
Null-Hypothesis:  Correct Exceedances and
        Independence of Failures
LR.cc Statistic:  1.131
LR.cc Critical:   9.21
LR.cc p-value:   0.568
Reject Null:    O

Kupiec的无条件覆盖方法比较了给定VaR尾部概率时,预期突破值数目和实际突破值数目,而Christoffersen检验方法则是一种对无条件覆盖和突破值的独立性的联合检验。在我们的例子中,尽管预期突破有3次但实际发生了5次,我们不能拒绝突破是正确并且独立的原假设。

回测表现的图形也很容易生成。首先,使用ugarchroll对象的精确预测VaR创建一个zoo对象。

> intc_VaR <- zoo(intc_garch11_roll@forecast$VaR[, 1])

我们仍然使用这个“zoo”对象,通过rownames(年和月)重写这个对象的index属性。

> index(intc_VaR) <- as.yearmon(rownames(intc_garch11_roll@forecast$VaR))

对同时存储在ugarchroll对象中的真实收益率,我们加以同样的处理。

> intc_actual <- zoo(intc_garch11_roll@forecast$VaR[, 2])
> index(intc_actual) <-
as.yearmon(rownames(intc_garch11_roll@forecast$VaR))

现在,我们可以使用下面的命令,画出VaR对比英特尔真实收益率的图形。

> plot(intc_actual, type = "b", main = "99% 1 Month VaR  Backtesting",
+  xlab = "Date", ylab = "Return/VaR in percent")
> lines(intc_VaR, col = "red")
> legend("topright", inset=.05, c("Intel return","VaR"), col =
c("black","red"), lty = c(1,1))

图1-4中显示了上述命令行的输出。


4

1.4.6 预测

我们现在有理由相信风险模型运行正常,我们也可以生成VaR预测。函数ugarchforecast选取以下两个参数,一个是拟合的GARCH函数(intc_garch11_fit),另一个是应该产生预测的周期数(n.ahead = 12,即12个月)。

> intc_garch11_fcst <- ugarchforecast(intc_garch11_fit, n.ahead = 12)

我们可以通过查询以下命令行显示的预测对象,来预期未来结果。

> intc_garch11_fcst
*------------------------------------*
*     GARCH Model Forecast    *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 12
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast [T0=Dec 2008]:
   Series Sigma
T+1 0.01911 0.1168
T+2 0.01911 0.1172
T+3 0.01911 0.1177
T+4 0.01911 0.1181
T+5 0.01911 0.1184
T+6 0.01911 0.1188
T+7 0.01911 0.1191
T+8 0.01911 0.1194
T+9 0.01911 0.1197
T+10 0.01911 0.1200
T+11 0.01911 0.1202
T+12 0.01911 0.1204

波动率(sigma)的一步预期是0.1168。因为我们假定了正态分布,置信水平为99%的VaR可以使用标准正态分布的99%分位数(输入qnorm(0.99))来计算。因此对下一个周期,一个月的99%VaR就是qnorm(0.99)*0.1168 =0.2717。结果,月收益率高于−27%的概率是99%。

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本书将向你讲述如何使用统计计算语言R和量化金融知识来解决真实世界的量化金融问题。本书包括了丰富的主题,从时间序列分析到金融网络。每章都会简要地介绍理论知识并使用R来解决一个具体问题。
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