什么是快速幂算法？

快速幂算法能帮我们算出指数非常大的幂，传统的求幂算法之所以时间复杂度非常高（为O(指数n)），就是因为当指数n非常大的时候，需要执行的循环操作次数也非常大。所以我们快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。让我们先来看一个简单的例子：3的10次方

3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3

尽量想办法把指数变小来，这里的指数为10，我们来对其进行变形↓↓↓

3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)

3^10=(3*3)^5

3^10=9^5

此时指数由10变成了5（缩小了一半），而底数从3变成了9（扩大了一倍），求3^10原本需要执行10次循环操作，求9^5却只需要执行5次循环操作，但是3^10却等于9^5，我们用一次（底数变平方操作）的操作减少了原本一半的循环量，特别是在幂特别大的时候效果非常好，例如：2^10000=4^5000，底数只是做了一个小小的平方操作，而指数就从10000变成了5000，减少了5000次的循环操作。

现在我们的问题是如何把指数5变成原来的一半，我们都知道，5是一个奇数，5的一半是2.5，但是我们又知道，指数不能为小数，因此我们不能这么简单粗暴的直接执行5/2，然而，这里还有另一种方法能表示9^5

9^5=（9^4）*（9^1）

此时我们抽出了一个底数的一次方，这里即为9^1，这个9^1我们先单独移出来，剩下的9^4又能够执行我们上文所说的操作（起个名字吧，叫“缩指数，扩底数”）了，把指数缩小一半，底数执行平方操作

9^5=（81^2）*(9^1)

把指数缩小一半，底数执行平方操作

9^5=（6561^1）*(9^1)

此时，我们发现指数又变成了一个奇数1，按照上面对指数为奇数的操作方法，应该抽出了一个底数的一次方，这里即为6561^1，这个6561^1我们先单独移出来，但是此时指数却变成了0，也就意味着我们无法再进行“缩指数，扩底数”操作了。

9^5=（6561^0）*(9^1)*(6561^1)=1*(9^1)*(6561^1)=(9^1)*(6561^1)=9*6561=59049

我们能够发现，最后的结果是9*6561，而9是怎么产生的？是不是当指数为奇数5时，此时底数为9。那6561又是怎么产生的呢？是不是当指数为奇数1时，此时的底数为6561。所以我们能发现一个规律：最后求出的幂结果实际上就是在变化过程中所有当指数为奇数时底数的乘积。

那么这个快速幂部分的代码，我们可以这样来写：

long long fastPower(long long base,long long power)
{
    long long result=1;
    while(power>0)
    {
        if(power%2==1)
            result=(result*base)%1000;
        power=power/2;
        base=(base*base)%1000;
    }
    return result;
}

不过，对于上述代码，细心的同学应该能够发现，好像还可以再优化一下，以便程序运行起来更加节省时间。

在C语言中，power%2==1可以用更快的“位运算”来代替，例如：power&1。因为如果power为偶数，则其二进制表示的最后一位一定是0；如果power是奇数，则其二进制表示的最后一位一定是1。将他们分别与1的二进制做“与”运算，得到的就是power二进制最后一位的数字了，是0则为偶数，是1则为奇数。例如5是奇数，则5&1=1；而6是偶数，则6&1=0；因此奇偶数的判断就可以用“位运算”来替换了。同样，对于power=power/2来说，也可以用更快的“位运算”进行替代，我们只要把power的二进制表示向右移动1位就能变成原来的一半了。

终极优化快速幂算法代码：

long long fastPower(long long base,long long power)
{
    long long result=1;
    while(power>0)
    {
        if(power&1)//此处等价于if(power%2==1)
            result=(result*base)%1000;
        power>>=1;//此处等价于power=power/2
        base=(base*base)%1000;
    }
    return result;
}