一、实验目的
使用 Python 通过计算与作图，加强对极限、导数、积分等概念的理解，并掌握它们计算方法，以及求微分方程和方程组解析解的方法。
二、实验原理与数学模型
- 函数极限的求解讨论以及两个重要极限的验证。
- 导数概念和导数的几何意义，以及计算多元函数偏导数和全微分的方法。
- 一元函数积分学和多元函数积分学。
- 微分方程和方程组在有无初始条件的分析。
三、实验所用软件
- Python 3.7
- NumPy 1.16.4
- SymPy 1.4
- Matplotlib 3.1.1
四、主要内容
- 函数极限的求解和两个重要极限的探究；
- 导数、高阶导数以及隐函数、参数方程定义函数导数的求解，多元函数偏导数和全微分的求解；
- 计算定积分和不定积分以及重积分的方法；
- 求解微分方程以及方程组解析解的方法。
五、实验过程
1. 函数极限的求解和两个重要极限
在这个实验中我们通过对简单的函数进行单侧极限的求解，并且分析两个重要极限。
例 1：考虑函数 y=arctan(1/x) 在 x=0 的左右极限。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import sympy as sp # 求函数 y=arctan(1/x) 的左右极限 x = sp.Symbol('x') fr = sp.atan(1 / x) xl = sp.limit(fr, x, 0, dir='-') xr = sp.limit(fr, x, 0, dir='+') print('%s 左极限是：%s' % (fr, xl)) print('%s 右极限是：%s' % (fr, xr)) # 绘制函数 y=arctan(1/x) 的图像 x = np.arange(-6, 6, 0.01) y = np.arctan(1 / x) plt.title('y=arctan(1/x)') plt.plot(x, y) plt.show()
运行代码输出结果和绘制图像：
atan(1/x) 左极限是：-pi/2 atan(1/x) 右极限是：pi/2
根据计算结果和绘制的图像分析求得出题中函数的左右极限分别为 -pi/2 和 pi/2 。
例 2：两个重要极限的验证。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import sympy as sp # 分析两个重要极限 x = sp.Symbol('x') f1 = sp.sin(x) / x f2 = (1 + 1 / x) ** x x1 = sp.limit(f1, x, 0) x2 = sp.limit(f2, x, 'oo') print('%s 第一重要极限的值：%s' % (f1, x1)) print('%s 第二重要极限的值：%s' % (f2, x2)) # 绘制函数图像分析两个重要极限 x1 = np.arange(-3, 3, 0.01) x2 = np.arange(0.01, 100, 0.1) y1 = np.sin(x1) / x1 y2 = (1 + 1 / x2) ** x2 plt.figure(figsize=(12, 5)) plt.subplot(121) plt.title('y=sin(x)/x') plt.plot(x1, y1) plt.subplot(122) plt.title('y=(1+1/x)**x') plt.plot(x2, y2) plt.show()
运行代码输出结果和绘制图像：
sin(x)/x 第一重要极限的值：1 (1 + 1/x)**x 第二重要极限的值：E
根据上图变化趋势理解函数极限和程序得出的答案，验证两个重要极限。
2. 导数与微分的研究
在这个实验中，我们探究导数概念及其几何意义，高阶导数，隐函数导数，参数方程定义的函数导数，以及求解多元函数偏导数和全微分。
例 1：求 f(x)=2x^3+3x^2-12x+7 的导函数，并作出该函数图形和在 x=-1 处的切线。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import sympy as sp # 导数与微分 x = sp.Symbol('x') f = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7 d = sp.diff(f) print('%s 的导函数为：%s' % (f, d)) y_d = d.evalf(subs={x: -1}) y_h = f.evalf(subs={x: -1}) print('将x=-1代入导函数求解为：%d' % y_d) print('将x=-1代入原函数求解为：%d' % y_h) f_d = y_d * (x + 1) + y_h print('得出切线方程为：%s' % f_d) # 绘制函数图和切线图 x = np.arange(-4, 3, 0.01) y1 = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7 y2 = 8 - 12 * x plt.title('函数y=2*x**3+3*x**2-12*x+7以及当x=-1时的切线') plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False plt.plot(x, y1, x, y2) plt.show()
运行代码输出结果和绘制图像：
2*x**3 + 3*x**2 - 12*x + 7 的导函数为：6*x**2 + 6*x - 12 将x=-1代入导函数求解为：-12 将x=-1代入原函数求解为：20 得出切线方程为：8.0 - 12.0*x
最后执行便在同一个坐标系内作出了函数 f(x) 的图形和它在 x=-1 处的切线（直线为切线）。
此两行代码是为了解决在绘图中显示中文乱码的问题。
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
例 2：求函数 y=x^{10}+2(x-10)^9 的1阶到11阶导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x = sp.Symbol('x') y = x ** 10 + 2 * (x - 10) ** 9 for n in range(1, 12): y = d = sp.diff(y) print('第%2d阶导数为：%s' % (n, d))
运行代码输出结果：
第 1阶导数为：10*x**9 + 18*(x - 10)**8 第 2阶导数为：90*x**8 + 144*(x - 10)**7 第 3阶导数为：720*x**7 + 1008*(x - 10)**6 第 4阶导数为：5040*x**6 + 6048*(x - 10)**5 第 5阶导数为：30240*x**5 + 30240*(x - 10)**4 第 6阶导数为：151200*x**4 + 120960*(x - 10)**3 第 7阶导数为：604800*x**3 + 362880*(x - 10)**2 第 8阶导数为：1814400*x**2 + 725760*x - 7257600 第 9阶导数为：3628800*x + 725760 第10阶导数为：3628800 第11阶导数为：0
输出即为题中要求所得函数高阶导数。
例 3：求由方程 2x^2-2xy+y^2+x+2y+1=0 确定的隐函数的导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x, y = sp.symbols('x y') z = 2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 + x + 2 * y + 1 d = -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y) print('原方程导数为：%s' % d)
运行代码输出结果：
原方程导数为：(-4*x + 2*y - 1)/(-2*x + 2*y + 2)
该实验根据隐函数求导公式 dy/dx=-Fx/Fy 求得，然后再根据一般求导公式即可求出结果。
例 4：求由参数方程 x=e^tcos(t), y=e^tsin(t) 确定的函数的导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp t = sp.Symbol('t') x = sp.exp(t) * sp.cos(t) y = sp.exp(t) * sp.sin(t) d = sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t) print('原参数方程导数结果为：%s' % d) d = sp.simplify(d) print('原参数方程导数化简为：%s' % d)
运行代码输出结果：
原参数方程导数结果为：(exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t)) 原参数方程导数化简为：tan(t + pi/4)
根据参数方程求导法则最后求得由参数方程确定函数的导数。
例 5：设 z=sin(xy)+cos^2(xy) ，求偏导数（省略数学公式，点击阅读原文查看）。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x, y = sp.symbols('x y') z = sp.sin(x * y) + (sp.cos(x * y)) ** 2 d1 = sp.diff(z, x) d2 = sp.diff(z, y) d3 = sp.diff(z, x, 2) d4 = sp.diff(sp.diff(z, x), y) print('第一偏导数为：%s' % d1) print('第二偏导数为：%s' % d2) print('第三偏导数为：%s' % d3) print('第四偏导数为：%s' % d4)
运行代码输出结果：
第一偏导数为：-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) + y*cos(x*y) 第二偏导数为：-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) + x*cos(x*y) 第三偏导数为：y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2) 第四偏导数为：2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) + cos(x*y)
以上为多元函数偏导数的结果。
3. 定积分与不定积分以及重积分的研究
在这个实验中，我们研究定积分与不定积分的计算，以及多重积分的计算，深入理解曲线积分、曲面积分的概念个计算方法。
例 1：计算 \int{\sqrt{4-x^2}dx} 和 \int_1^2{\sqrt{4-x^2}} 。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x = sp.Symbol('x') y = sp.sqrt(4 - x ** 2) i1 = sp.integrate(y, x) i2 = sp.integrate(y, (x, 1, 2)) print('不定积分的结果为：%s' % i1) print('定积分的结果为：%s' % i2)
运行代码输出结果：
不定积分的结果为：x*sqrt(4 - x**2)/2 + 2*asin(x/2) 定积分的结果为：-sqrt(3)/2 + 2*pi/3
使用 Python 求解不定积分时，会省略积分的常数。
例 2：计算三重积分 \iiint{(x^2+y^2+z)dxdydz} ，其中由曲面 z=\sqrt{2-x^2-y^2} 与 z=\sqrt{x^2+y^2} 围成。
解：编写Python代码作出区域曲面图形，如下：
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D x = np.arange(-1, 1, 0.05) y = np.arange(-1, 1, 0.05) x, y = np.meshgrid(x, y) z1 = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2) z2 = np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2) ax = Axes3D(plt.figure()) plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False ax.set_title('三重积分曲面') ax.plot_surface(x, y, z1) ax.plot_surface(x, y, z2) plt.show()
将方程转换为柱坐标计算，然后确定积分限，编写Python代码：
import sympy as sp r, s, z = sp.symbols('r s z') f = (r ** 2 + z) * r i = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi)) print('三重积分计算结果为：%s' % i)
运行代码输出结果：
三重积分计算结果为：2*pi*(-5/12 + 8*sqrt(2)/15)
4. 求微分方程的解析解
在这个实验中，我们用通过 Python 来求解微分方程的通解，在初始条件下的特解，以及微分方程组在初始条件下的特解。
例 1：求微分方程 y'+2xy=xe^{-x^2} 的通解。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x = sp.Symbol('x') f = sp.Function('f') y = f(x) d = sp.Eq(y.diff(x) + 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2)) diff = sp.dsolve(d, y) print('微分方程的通解为：%s' % diff)
运行代码输出结果：
微分方程的通解为：Eq(f(x), (C1 + x**2/2)*exp(-x**2))
例 2：求微分方程 xy'+y-e^{-x}=0 在初始条件 y(x=1)=2e 下的特解。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp x = sp.Symbol('x') f = sp.Function('f') y = f(x) d = sp.Eq(x * y.diff(x) + y - sp.exp(-x), 0) diff = sp.dsolve(d, y, ics={f(1): 2 * sp.exp(1)}) print('微分方程的特解为：%s' % diff)
运行代码输出结果：
微分方程的特解为：Eq(f(x), ((1 + 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)
六、实验结果报告与总结
通过本次实验，我深入理解了函数极限，导数与微分，定积分与不定积分的概念，通过作图与观察，更熟练掌握了微积分学中的各种计算与求解方法，加深了对微分方程的理解，以及对多元函数微分学与积分学的深刻理解。
七、思考与深入
- 利用导数求多项式方程近似解以及函数的极值和单调区间；
- 利用重积分求空间图形的体积和平面图形的面积，计算曲线积分和曲面积分；
- 利用欧拉折线法和龙格-库塔法求微分方程近似解。
