题目描述
这是 LeetCode 上的 1818. 绝对差值和 ，难度为 中等。
Tag : 「二分」
给你两个正整数数组 nums1 和 nums2 ，数组的长度都是 n 。
数组 nums1 和 nums2 的 绝对差值和 定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的 总和（下标从 0 开始）。
你可以选用 nums1 中的 任意一个 元素来替换 nums1 中的 至多 一个元素，以 最小化 绝对差值和。
在替换数组 nums1 中最多一个元素 之后 ，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 10^9 + 7109+7 取余 后返回。
|x| 定义为：
- 如果 x >= 0 ，值为 x ，或者
- 如果 x <= 0 ，值为 -x
示例 1：
输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5] 输出：3 解释：有两种可能的最优方案： - 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者 - 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5] 两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3 复制代码
示例 2：
输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10] 输出：0 解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0 复制代码
示例 3：
输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4] 输出：20 解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7] 绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20 复制代码
提示：
- n == nums1.length
- n == nums2.length
- 1 <= n <= 10^5105
- 1 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^5105
二分
这是一道二分陈题，具体做法如下：
我们在进行处理前，先对 nums1nums1 进行拷贝并排序，得到 sortedsorted 数组。
然后 在遍历 nums1nums1 和 nums2nums2 计算总的差值 sumsum 时，通过对 sortedsorted 进行二分查找，找到最合适替换 nums[i]nums[i] 的值。
具体的，当我们处理到第 ii 位时，假设该位的原差值为 x = abs(nums1[i] - nums2[i])x=abs(nums1[i]−nums2[i])，然后从 sortedsorted 数组中通过二分找到最接近 nums2[i]nums2[i] 的值，计算一个新的差值 ndnd（注意要检查分割点与分割点的下一位），如果满足 nd < xnd<x 说明存在一个替换方案使得差值变小，我们使用变量 maxmax 记下来这个替换方案所带来的变化，并不断更新 maxmax。
当整个数组被处理完，maxmax 存储着最优方案对应的差值变化，此时 sum - maxsum−max 即是答案。
Java 代码：
class Solution { int mod = (int)1e9+7; public int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) { int n = nums1.length; int[] sorted = nums1.clone(); Arrays.sort(sorted); long sum = 0, max = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { int a = nums1[i], b = nums2[i]; if (a == b) continue; int x = Math.abs(a - b); sum += x; int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (sorted[mid] <= b) l = mid; else r = mid - 1; } int nd = Math.abs(sorted[r] - b); if (r + 1 < n) nd = Math.min(nd, Math.abs(sorted[r + 1] - b)); if (nd < x) max = Math.max(max, x - nd); } return (int)((sum - max) % mod); } } 复制代码
Python 3 代码：
class Solution: mod = 10 ** 9 + 7 def minAbsoluteSumDiff(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int: n = len(nums1) sortedNums1 = sorted(nums1) totalSum = maxDiff = 0 for i in range(n): a, b = nums1[i], nums2[i] if a == b: continue x = abs(a - b) totalSum += x l, r = 0, n - 1 while l < r: mid = l + r + 1 >> 1 if sortedNums1[mid] <= b: l = mid else: r = mid - 1 nd = abs(sortedNums1[r] - b) if r < n - 1: nd = min(nd, abs(sortedNums1[r + 1] - b)) if nd < x: maxDiff = max(maxDiff, x - nd) return (totalSum - maxDiff) % self.mod 复制代码
- 时间复杂度：对
sorted进行拷贝并排序的复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)；遍历处理数组时会一边统计，一边尝试二分，找最合适的替换数值，复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)。整体复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn) - 空间复杂度：使用
sorted数组需要 O(n)O(n) 的空间复杂度，同时排序过程中会使用 O(\log{n})O(logn) 的空间复杂度；整体复杂度为 O(n + \log{n})O(n+logn)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1818 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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