树是一种非线性表数据结构，树的基本概念如下所列。
（1）结点高度：结点到叶子结点的最长路径（即边数）。例题：112. 路径总和。
（2）结点深度：根结点到这个结点所经历的边的个数。例题：104. 二叉树的最大深度。
（3）结点层数：结点深度加 1。
（4）树的高度：根结点的高度。例题：面试题 04.02. 最小高度树。
后面几张这种类型的图都来源于《数据结构与算法之美》。
图 2
（5）二叉树：只包含左右两个子结点的树（编号1）。
（6）满二叉树：所有分支结点都存在左右子树，并且所有叶子结点都在同一层上（编号2）。例题：894. 所有可能的满二叉树。
（7）完全二叉树：叶子结点都在最底下两层，最后一层的叶子结点都靠左排列，并且除了最后一层，其余结点个数都要达到最大（编号3）。例题：222. 完全二叉树的结点个数。
图 3
一、二叉树
1）实现
有两种方法存储一棵二叉树，第一种是基于指针的链式存储法，如下所示。
class Node { constructor(data) { this.data = data; this.left = null; this.right = null; } } class TreeList { constructor(datas) { this.root = null; datas.forEach((value) => { const node = new Node(value); if (this.root == null) { this.root = node; return; } this.insert(this.root, node); }); } insert(parent, child) { if (parent.data > child.data) { parent.left === null ? (parent.left = child) : this.insert(parent.left, child); return; } parent.right === null ? (parent.right = child) : this.insert(parent.right, child); } }
第二种是基于数组的顺序存储法。
left = 2 * index + 1; //左结点下标 right = 2 * index + 2; //右结点下标
例题：LeetCode的236. 二叉树的最近公共祖先，递归的在左右子树中查找两个指定的结点，最后判断公共祖先所在的位置。在当前结点的左子树，或在其右子树，又或者它就是两种的公共祖先。
2）遍历
二叉树的遍历有四种（示例如下）：
（1）前序：先访问当前结点，然后访问左子树，再访问右子树。
preOrder(root = this.root) { //前序 if (!root) { return; } console.log(root.data); this.preOrder(root.left); this.preOrder(root.right); }
图 4
面试题28 对称二叉树。前序遍历的变种是先访问右结点，再访问左结点，如果其遍历结果与前序遍历结果相同，就说明是对称的。
面试题34 二叉树中和为某一值的路径。前序遍历首先访问根结点，在用前序遍历访问结点时，将其压入栈中，遇到叶结点，就求和判断结果是否符合要求。然后将叶结点出栈，回到父节点，继续遍历右子树，递归执行该过程。
（2）中序：先访问左子树，然后访问当前结点，再访问右子树。
inOrder(root = this.root) { //中序 if (!root) { return; } this.midOrder(root.left); console.log(root.data); this.midOrder(root.right); }
图 5
面试题7 重建二叉树。前序遍历第一个数是根结点，中序遍历以根结点为界其两边分别是左右子树，递归构建左右子树。
面试题54 BST中第 k 大的结点。中序遍历BST，得到的序列是递增的。
（3）后序：先访问左子树，然后访问右子树，再访问当前结点。
postOrder(root = this.root) { //后序 if (!root) { return; } this.backOrder(root.left); this.backOrder(root.right); console.log(root.data); }
图 6
面试题33 BST的后序遍历序列。序列的最后一个数字是根结点，左子树的结点都比根结点小，右子树的结点都比根结点大，递归执行该过程。
（4）层序：自上而下，自左至右逐层访问树的结点。利用一个辅助队列来完成层序遍历。
levelOrder(node = this.root) { //层序 let queue = []; queue.push(node); // 根结点入队 while (queue.length) { node = queue.shift(); // 出队 console.log(node.data); // 访问该结点 if (node.left) { // 如果它的左子树不为空 queue.push(node.left); // 将左子树的根结点入队 } if (node.right) { // 如果它的右子树不为空 queue.push(node.right); // 将右子树的根结点入队 } } }
除了层序遍历之外，其余三种都采用递归的方式来遍历二叉树。
有两种图的搜索算法，也适用于树。
（1）广度优先搜索算法（Breadth-First Search，BFS）会从根结点开始遍历，先访问其所有的相邻点，就像一次访问树的一层，也就是先宽后深地访问结点，之前的层序遍历就是BFS，如下图左半部分。
（2）深度优先搜索算法（Depth-First-Search，DFS）会从根结点开始遍历，沿着路径直到这条路径最后一个叶结点被访问，接着原路回退并探索下一条路径，也就是先深度后广度地访问结点，如下图右半部分。
在《算法小抄》一文中曾强调先刷二叉树的LeetCode题目，因为很多难题本质上都
是基于二叉树的遍历，例如LeetCode的124 题（二叉树中的最大路径和）、105 题（从前序与中序遍历序列构造二叉树）和99 题（恢复二叉搜索树）。
3）递归
递归是一种应用广泛的编程技巧，如果要使用递归，需要满足三个条件。
（1）一个问题的解可以分解为几个子问题的解。
（2）这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样。
（3）存在递归终止条件，即基线条件（Base Case）。
注意，递归的关键就是找到将大问题分解为小问题的规律（推荐画出递归树），基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，并且需要警惕重复计算。下面是一个递归的大致模板。
function recursion(level, param1, param2, ...) { //递归的终止条件 if(level > MAX_LEVEL) { console.log("result"); return; } //数据处理 processData(level, data1,...); //继续递归 recursion(level + 1, p1, ...); //收尾工作 reverseState(level); }
递归的数学模型就是归纳法，其过程如下。
（1）基础情况：证明 P(b)语句成立，该步骤只需带入数字即可。
（2）声明假设：假设 P(n)语句成立。
（3）归纳步骤：证明如果 P(n)语句成立，那么 P(n+1) 语句也一定成立。
例如设计一程序，求自然数 N 的阶乘 N!。
（1）当 N=1 时，N!=1。
（2）假设 P(N)=N!，P(N+1)=(N+1)!。
（3）证明 P(N) 和 P(N+1) 的关系：
P(N+1) = (N+1)! = (N+1)×(N)×…×2×1 = (N+1)×N! = (N+1)×P(N)
根据这个公式可构造一个递归函数：
function factorial(N) { return N * factorial(N - 1); //递归部分 }
在采用数学归纳法设计递归程序后，就能摆脱每一步的递推，直接根据分析就能转化为代码。
试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是一种思维误区，不符合人脑平铺直叙的思维方式。
二、二叉查找树
在二叉查找树（Binary Search Tree，BST）中，每个结点的值都大于左子结点，小于右子结点。当中序遍历BST时，就可在 O(n) 的时间复杂度内输出有序的结点。
BST的时间复杂度和树的高度成正比，即 O(height)，经过推导后，完全二叉树的高度（height）小于等于 log2^n。
平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找等操作的时间复杂度也比较稳定，都是 O(logn)。
1）操作
在BST中查找一个结点的递归算法是（代码如下所示）：
（1）如果被查找的结点和根结点的值相等，则查找命中，否则就递归地的在适当的子树中继续查找。
（2）如果被查找的结点值较小就选择左子树，否则就选择右子树。
find(data) { //查找 let node = this.root; while (node != null) { if (data == node.data) { return node; } data < node.data ? (node = node.left) : (node = node.right); } return null; }
BST插入结点的过程和查找差不多，依次比较结点值和左右子树的大小。
insert(parent, child) { //插入 if (parent.data > child.data) { parent.left === null ? (parent.left = child) : this.insert(parent.left, child); return; } parent.right === null ? (parent.right = child) : this.insert(parent.right, child); }
在BST中查找最大和最小的结点，以最小值为例，如果根结点的左链接为空，那么一棵BST中的最小值就是根结点；如果左链接非空，那么最小值就是左子树中的最小值。
min(node = this.root) { //最小值 if (node.left == null) return node; return this.min(node.left); }
2）删除
针对删除结点的子结点个数的不同，需要分类讨论（代码如下所示）：
（1）如果没有子结点，那么只需将父结点中，链接删除结点的指针置为 null。
（2）如果只有一个子结点，那么只需更新父结点中，链接删除结点的指针指向其子结点即可。
（3）如果包含两个子结点，那么需要先找到该结点右子树中的最小结点，替换要删除的结点；然后再删除该最小结点，由于最小结点肯定没有左子结点，因此可以使用上面两条规则删除它。
图 7
del(data) { //删除 let p = this.root, //p指向要删除的结点，初始化指向根结点 parent = null; //父结点 while (p != null && p.data != data) { parent = p; data > p.data ? (p = p.right) : (p = p.left); } if (p == null) return; //没有找到 // 要删除的结点有两个子结点 if (p.left != null && p.right != null) { //查找右子树中最小结点 let minP = p.right, minParent = p; //minParent表示minP的父结点 while (minP.left != null) { minParent = minP; minP = minP.left; } p.data = minP.data; //将minP的数据替换到p中 p = minP; //下面就变成了删除minP了 parent = minParent; } // 删除结点是叶子结点或者仅有一个子结点 let child; //p的子结点 if (p.left != null) child = p.left; else if (p.right != null) child = p.right; else child = null; if (parent == null) this.root = child; // 删除的是根结点 else if (parent.left == p) parent.left = child; else parent.right = child; }
3）数据重复
要让BST支持重复数据，可以有两种处理方式。
（1）在每个结点中增加一个链表，把相同的值存储到链表中。
（2）将相同的值插入到结点的右子树中，作为大于这个结点来处理。
4）平衡二叉查找树
平衡二叉树是指任意一个结点的左右子树的高度相差不能大于 1，让整棵树左右看起来比较对称和平衡，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。
在下面的示例中，height()函数会自顶向下递归的计算结点的高度，isBalanced()函数会判断左右子树的高度差。
function isBalanced(root) { if (root == null) return true; if (Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) > 1) { return false; } return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right); } function height(root) { if (root == null) return 0; return Math.max(height(root.left) + 1, height(root.right) + 1); }
三、堆
堆（heap）是一种特殊的树形数据结构，它有两个特性：
（1）必须是一棵完全二叉树。
（2）结点的值要大于等于或小于等于两个子结点的值。
当结点的值小于等于两个子结点的值，称之为小顶堆；当结点的值大于等于两个子结点的值，称之为大顶堆。
1）实现
往堆中插入一个元素后，需要继续满足堆的两个特性，这个过程叫做堆化（heapify），下面的示例在构建一个大顶堆。
function heapify(arr, x, len) { let l = 2 * x + 1, //左结点 r = 2 * x + 2, //右结点 largest = x, temp; if (l < len && arr[l] > arr[largest]) { largest = l; } if (r < len && arr[r] > arr[largest]) { largest = r; } if (largest != x) { //交换位置 temp = arr[x]; arr[x] = arr[largest]; arr[largest] = temp; heapify(arr, largest, len); } } const tree = [4, 5, 1, 2, 3, 6], heapSize = tree.length; for (let i = Math.floor(heapSize / 2) - 1; i >= 0; i--) { heapify(tree, i, heapSize); }
2）堆排序
堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的不稳定排序算法。排序主要分为两个过程：一是构建堆；二是交换堆顶元素与最后一个元素的位置，如下所示。
function heapSort(arr) { let heapSize = arr.length, temp; //建堆 for (let i = Math.floor(heapSize / 2) - 1; i >= 0; i--) { heapify(arr, i, heapSize); } //堆排序 for (let j = heapSize - 1; j >= 1; j--) { temp = arr[0]; arr[0] = arr[j]; arr[j] = temp; heapify(arr, 0, --heapSize); } return arr; }
3）应用
堆有几个非常重要的应用，例如优先级队列、求Top K和求中位数。例题：703. 数据流中的第K大元素，剑指 Offer 41. 数据流中的中位数。
其中求中位数的方法很巧妙，会维护两个堆：大顶堆和小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。如果有 n 个数据：
（1）当 n 是偶数时，前 2/n 个数据存储在大顶堆中，后 2/n 个数据存储在小顶堆中。
（2）当 n 是奇数时，大顶堆就存储 2/n+1 个数据，小顶堆中就存储 2n 个数据。
这样，大顶堆中的堆顶元素就是要找的中位数。
