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数据结构与算法学习十七：顺序储存二叉树、线索化二叉树

2024-10-16 5
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简介： 这篇文章主要介绍了顺序存储二叉树和线索化二叉树的概念、特点、实现方式以及应用场景。

一、顺序储存二叉树

1.1 概念

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，
看下面的示意图。
在这里插入图片描述

1.2 特点

  • 顺序二叉树通常只考虑 完全二叉树:
  1. 第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
  2. 第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
  3. 第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
  • n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号如图所示,同时对应的也是数组的顺序)
    在这里插入图片描述

复习一下完全二叉树：如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为 完全二叉树。

1.3 关系

树的存储方式可以与数组的方式可以互换，我看出来的一个规律，二叉树的层次遍历就是数组的储存方式。

如果要将二叉树转为数组存储，既可以层次遍历然后储存到数组中即可。

1.4 案例

  1. 上图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 array : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
  2. 要求在遍历数组 array 时，仍然可以以 前序遍历，中序遍历和后序遍历 的方式完成结点的遍历。
  3. 手写三种遍历，与代码进行比较
    前序遍历：1 2 4 5 3 6 7
    中序遍历：4 2 5 1 6 3 7
    后序遍历：4 5 2 6 7 3 1

1.5 代码实现

1.5.1 ArrayBinaryTree 二叉树类

package com.feng.ch12_tree.t2_arraybinarytree;

/*
 * 编写一个 ArrayBinaryTree， 实现顺序存储二叉树遍历
 * 数组 和 二叉树的 对应规律
 * */
class ArrayBinaryTree {

    private int[] array; // 存储数据结点的数组

    public ArrayBinaryTree(int[] array) {
        this.array = array;
    }

    // 重载perOrder（）
    public void preOrder() {
        this.preOrder(0);
    }
    public void infixOrder() {
        this.infixOrder(0);
    }
    public void postOrder() {
        this.postOrder(0);
    }

    /*
     * 编写一个方法，完成顺序储存二叉树的一个前序遍历
     * @param index 数组的下标
     * */
    public void preOrder(int index) {
        // 如果数组为空，或者 array。length = 0
        if (array == null || array.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 输出当前这个元素
        System.out.print(array[index] + " ");
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < array.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }

        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < array.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }
    }

    /*
     * 方法，完成顺序储存二叉树的一个中序遍历
     * @param index 数组的下标
     * */
    public void infixOrder(int index){
        // 如果数组为空，或者 array。length = 0
        if (array == null || array.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < array.length) {
            infixOrder(2 * index + 1);
        }
        // 输出当前这个元素
        System.out.print(array[index] + " ");
        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < array.length) {
            infixOrder(2 * index + 2);
        }

    }

    /*
     * 方法，完成顺序储存二叉树的一个后序遍历
     * @param index 数组的下标
     * */
    public void postOrder(int index){
        // 如果数组为空，或者 array。length = 0
        if (array == null || array.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < array.length) {
            postOrder(2 * index + 1);
        }
        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < array.length) {
            postOrder(2 * index + 2);
        }
        // 输出当前这个元素
        System.out.print(array[index] + " ");
    }
}

1.5.2 T2_ArrayBinaryTreeMain 测试类

package com.feng.ch12_tree.t2_arraybinarytree;

/*
* 顺序储存二叉树
*
* 从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组
* 对应的规律为：
* 1、第n个元素的左子节点为  2 * n + 1
* 2、第n个元素的右子节点为  2 * n + 2
* 3、第n个元素的父节点为  (n-1) / 2
* 4、注意 上面的 n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号）比如 根节点 的索引 n = 0;
* 也是对应数组里的元素，下标正好也是从0开始的。
*
* 这里将使用数组 来 储存二叉树，进行前序、后序、中序的排列。
*
* 扩展、思考：
* 二叉树转化为数组储存，其实就是二叉树的 层次遍历 后的结果。
* */
public class T2_ArrayBinaryTreeMain {

    public static void main(String[] args) {
//        int array[] = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 15};
        int array[] = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 15};

        ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(array);
        System.out.println("前序序遍历：");
        arrayBinaryTree.preOrder(); // 1 3 6 8   4 9 15
        System.out.println();

        System.out.println("中序遍历：");
        arrayBinaryTree.infixOrder(); // 6 3 8 1 9 4 15
        System.out.println();

        System.out.println("后序遍历：");
        arrayBinaryTree.postOrder(); // 6 8 3 9 15 4 1
    }
}

1.5.3 测试结果

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

1.6 ** 实际应用 **

八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树， 关于堆排序，我们放在<<树结构实际应用>> 章节讲解。

二、线索化二叉树（学的不太好，没深入）

2.1 先看一个问题

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7， 7个空指针域
在这里插入图片描述
问题分析:

  1. 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6 }
  2. 但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
  3. 如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
  4. 解决方案-线索二叉树

2.1 线索二叉树基本介绍

线索二叉树基本介绍

  1. n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）

  2. 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种

  3. 一个结点的前一个结点，称为 前驱结点

  4. 一个结点的后一个结点，称为 后继结点

2.2 案例

应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
在这里插入图片描述
思路分析：中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}
在这里插入图片描述
说明: 当线索化二叉树后，Node节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:

  1. left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是 前驱节点.
  2. right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点right 指向的是右子树，而⑩ 节点的right 指向的是 后继节点.

2.3 代码实现

2.3.1 HeroNode 结点类

package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;

/*
 * 创建 HeroNode 结点
 * */
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;

    /*
     * 说明
     * 1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
     * 2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
     * */
    private int leftType;
    private int rightType;

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }

    public int getLeftType() {
        return leftType;
    }

    public void setLeftType(int leftType) {
        this.leftType = leftType;
    }

    public int getRightType() {
        return rightType;
    }

    public void setRightType(int rightType) {
        this.rightType = rightType;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }
}

2.3.2 ThreadedBinaryTree 线索化二叉树

package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;

/*
 * 定义 ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树
 * */
class ThreadedBinaryTree {
    private HeroNode root;

    // 为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
    // 在递归进行线索化时，pre 总是要保留前一个结点
    private HeroNode pre = null;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    // 重载 threadedNodes
    public void threadedNodes() {
        this.threadedNodes(root);
    }

    /*
     * 编写对二叉树 进行中序线索化的方法
     *
     * @param node 就是当前需要线索化的结点
     * */
    public void threadedNodes(HeroNode node) {
        // node == null。不能线索化
        if (node == null) {
            return;
        }
        // (1) 先线索化左子树
        threadedNodes(node.getLeft());

        // (2) 再线索化当前结点
        // 2.1 先处理当前结点的前驱结点
        // 以8结点来理解: 8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
        if (node.getLeft() == null) {
            // 让当前结点的左指针指向前驱结点
            node.setLeft(pre);
            // 修改当前结点的左指针的类型，指向前驱结点
            node.setLeftType(1);
        }
        // 2.2 处理后继节点
        if (pre != null && pre.getRight() == null) {
            // 前驱结点的右指针指向当前结点
            pre.setRight(node);
            // 修改前驱结点的右指针类型
            pre.setRightType(1);
        }
        // !!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
        pre = node;

        // (3) 先线索化右子树
        threadedNodes(node.getRight());
    }

    /*
     * 中序遍历 线索化二叉树的方法
     * */
    public void threadedInfixList() {
        // 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
        HeroNode node = root;
        if (root == null) {
            System.out.println("链表为空，无法遍历");
        }
        while (node != null) {
            // 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
            // 后面随着遍历而变化，因为当 leftType== 1 时。说明该结点是按照线索化
            // 处理后的有效节点
            while (node.getLeftType() == 0) {
                node = node.getLeft();
            }

            // 打印当前这个结点
            System.out.println(node);

            // 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
            while (node.getRightType() == 1) {
                // 获取到当前结点的后继结点
                node = node.getRight();
                System.out.println(node);
            }
            // 替换这个遍历的节点
            node = node.getRight();
        }
    }

    /*
     * 前序遍历 线索化二叉树的方法
     * */
    public void threadedPreList() {
        // 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
        HeroNode node = root;
        if (root == null) {
            System.out.println("链表为空，无法遍历");
        }

        while (node != null) {
            // 打印当前这个结点
            System.out.println(node);

            // 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
            // 后面随着遍历而变化，因为当 leftType == 1 时。说明该结点是按照线索化
            // 处理后的有效节点
            while (node.getLeftType() == 0) {
                node = node.getLeft();
                System.out.println(node);
            }

            // 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
            while (node.getRightType() == 1) {
                // 获取到当前结点的后继结点
//                System.out.println(node);
                node = node.getRight();
            }
            // 替换这个遍历的节点
            node = node.getRight();
        }
    }

    /*
     * 后序遍历 线索化二叉树的方法
     * */
    public void threadedPostList() {
        // 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
        HeroNode node = root;
        if (root == null) {
            System.out.println("链表为空，无法遍历");
        }

        while (node != null) {
            // 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
            // 后面随着遍历而变化，因为当 leftType == 1 时。说明该结点是按照线索化
            // 处理后的有效节点
            while (node.getLeftType() == 0) {
                node = node.getLeft();
            }

            // 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
            while (node.getRightType() == 1) {
                // 获取到当前结点的后继结点
                System.out.println(node);
                node = node.getRight();
            }

            // 打印当前这个结点
            System.out.println(node);
            // 替换这个遍历的节点
            node = node.getRight();
        }
    }
}

2.3.3 T3_ThreadedBinaryTreeMain 测试类

package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;

/*
 * 线索二叉树
 *
 * 1、n个结点的二叉链表中含有n+1  【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，
 * 存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）
 * 2、这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。
 * 根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
 * 3、一个结点的前一个（左子）结点，称为前驱结点；一个结点的后一个（右子）结点，称为后继结点
 *
 * 一旦线索化后，原来的遍历方式不能使用，从新编写 遍历方法，无需使用递归
 *
 * */
public class T3_ThreadedBinaryTreeMain {

    public static void main(String[] args) {
        // 测试 中序线索二叉树的功能
        HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");
        HeroNode node02 = new HeroNode(3, "jack");
        HeroNode node03 = new HeroNode(6, "smith");
        HeroNode node04 = new HeroNode(8, "mary");
        HeroNode node05 = new HeroNode(10, "king");
        HeroNode node06 = new HeroNode(14, "dim");

        // 二叉树，后面我们要递归创建，现在简单处理，使用手动创建
        root.setLeft(node02);
        root.setRight(node03);
        node02.setLeft(node04);
        node02.setRight(node05);
        node03.setLeft(node06);

        // 测试线索化
        ThreadedBinaryTree tree = new ThreadedBinaryTree();
        tree.setRoot(root);
        tree.threadedNodes();

        // 测试 ： 以10号为结点
        HeroNode leftNode05 = node05.getLeft();

        HeroNode rightNode05 = node05.getRight();
        System.out.println("10号结点的前驱结点是=" + leftNode05);
        System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode05);

        /*
         * 测试遍历
         * 这里的遍历 不能使用 T1_BinaryTreeMain.java 类中遍历方法了。为什么的话 去看代码即可。重新写
         * */
        System.out.println("使用线索化的方法 中序遍历 线索化二叉树 ");
        tree.threadedInfixList(); //8, 3, 10, 1, 14, 6
        System.out.println();

        System.out.println("使用线索化的方法 前序遍历 线索化二叉树 ");
        tree.threadedPreList(); //1 3 8 10 6 14
        System.out.println();

        /*
         * 这里不对 有问题。
         * */
        System.out.println("使用线索化的方法 后序遍历 线索化二叉树 ");
        tree.threadedPostList(); //8 10 3 14 6 1
        System.out.println();

    }

}

2.3.4 测试结果

在这里插入图片描述
后序线索化有点问题。。。。

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绿水长流*z
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大模型服务小助手
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8天前
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JSON 自然语言处理 数据管理
阿里云百炼产品月刊【2024年9月】
阿里云百炼产品月刊【2024年9月】，涵盖本月产品和功能发布、活动，应用实践等内容，帮助您快速了解阿里云百炼产品的最新动态。
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阿里云百炼产品月刊【2024年9月】
Ganos全空间数据库
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21天前
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存储 关系型数据库 分布式数据库
GraphRAG：基于PolarDB+通义千问+LangChain的知识图谱+大模型最佳实践
本文介绍了如何使用PolarDB、通义千问和LangChain搭建GraphRAG系统，结合知识图谱和向量检索提升问答质量。通过实例展示了单独使用向量检索和图检索的局限性，并通过图+向量联合搜索增强了问答准确性。PolarDB支持AGE图引擎和pgvector插件，实现图数据和向量数据的统一存储与检索，提升了RAG系统的性能和效果。
Ganos全空间数据库
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爱吃龙利鱼
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9天前
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Linux 虚拟化 开发者
一键将CentOs的yum源更换为国内阿里yum源
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瓴羊Dataphin
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7天前
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存储 人工智能 搜索推荐
数据治理，是时候打破刻板印象了
瓴羊智能数据建设与治理产品Datapin全面升级，可演进扩展的数据架构体系为企业数据治理预留发展空间，推出敏捷版用以解决企业数据量不大但需构建数据的场景问题，基于大模型打造的DataAgent更是为企业用好数据资产提供了便利。
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阿里云云原生
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23天前
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人工智能 IDE 程序员
期盼已久！通义灵码 AI 程序员开启邀测，全流程开发仅用几分钟
在云栖大会上，阿里云云原生应用平台负责人丁宇宣布，「通义灵码」完成全面升级，并正式发布 AI 程序员。
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BetterBench
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25天前
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机器学习/深度学习 算法 大数据
【BetterBench博士】2024 “华为杯”第二十一届中国研究生数学建模竞赛 选题分析
2024“华为杯”数学建模竞赛，对ABCDEF每个题进行详细的分析，涵盖风电场功率优化、WLAN网络吞吐量、磁性元件损耗建模、地理环境问题、高速公路应急车道启用和X射线脉冲星建模等多领域问题，解析了问题类型、专业和技能的需要。
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