前言
本章主要讲解：
- 时间复杂度和空间复杂度的讲解
- 常见的复杂度相关练习
算法效率
算法运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源
- 衡量一个算法的好坏标准：
一般是从时间和空间两个维度来衡量的
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间
注：现在已经不特别关注一个算法的空间复杂度（科技发展/摩尔定律）
时间复杂度
- 概念：
算法的时间复杂度是一个函数，定量描述了该算法的运行时间
这里不是算法执行所耗费的实际时间，而是算法中的基本操作的执行次数
找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度
注：实际计算时间复杂度不一定要计算精确的执行次数，只需要大概执行次数（大O的渐进表示法）
大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）用于描述函数渐进行为的数学符号
- 推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶
- 简单来说：
大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数
- 示例：
void Func(int N) { int count = 0; for (int i = 0; i < N ; ++ i) { for (int j = 0; j < N ; ++ j) { ++count; } } for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }
执行的基本操作次数：
大O的渐进表示法:
注意：
在实际中有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况，一般情况关注的是算法的最坏运行情况
示例：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
该数组中搜索数据时间复杂度为：O(N)
常见时间复杂度计算举例
- 示例1：
void Func1(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }
时间复杂度为：O(N)
- 示例2：
void Func2(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++ k) { ++count; } for (int k = 0; k < N ; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }
时间复杂度为：O(N+M)
- 示例3：
void Func3(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }
时间复杂度为：O(1)
注：并不是执行一次，而是表示常数次
- 示例4：
// 计算strchr的时间复杂度？ //在字符串找字符，找到则返回对应地址（类似于遍历算法） const char * strchr ( const char * str, int character );
时间复杂度为：O(N)
- 示例5：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
执行次数表达式：n-1+n-2+n-3+...+1=n（n-1）/2（等差求和）
时间复杂度为：O(N^2)
- 示例6:
// 计算BinarySearch的时间复杂度？ int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n-1; while (begin < end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid; else return mid; } return -1; }
执行次数表达式：n-1+n-2+n-3+...+1=n（n-1）/2（等差求和）
时间复杂度为：O(N^2)
- 示例6:
// 计算BinarySearch的时间复杂度？ int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n-1; while (begin < end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid; else return mid; } return -1; }
执行次数表达：
注：x为最差情况下的查找次数，N为数组长度
反向思考：从找到开始回推，每回推一次个数x2，经过x次最后总个数为数组总长度
时间复杂度为：
示例7：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？ long long Fac(size_t N) { if(0 == N) return 1; return Fac(N-1)*N; }
执行次数表达式：n
时间复杂度为：O(N)
- 示例8：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？ long long Fib(size_t N) { if(N < 3) return 1; return Fib(N-1) + Fib(N-2); }
注：实际上右边的调用会比左边更快结束，即右边会缺一些项
执行次数表达式：
(等比求和，C为常数)
时间复杂度为：
空间复杂度
- 概念：
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度
空间复杂度不是计算程序占用了多少bytes的空间，而是变量的个数
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法
注：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定
常见空间复杂度计算举例
- 示例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
注：使用了常数个额外空间
空间复杂度为 ：O(1)
- 示例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？ // 返回斐波那契数列的前n项 long long* Fibonacci(size_t n) { if(n==0) return NULL; long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray; }
注：空间复杂度看的是额外的空间消耗，当斐波那契数列分支调用到头时开始返回，返回会销毁函数栈帧，所以最多额外开辟N个函数栈帧（空间）
空间复杂度为： O(N)
- 示例3：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？ long long Fac(size_t N) { if(N == 0) return 1; return Fac(N-1)*N; }
注：递归调用了N次，额外开辟N个函数栈帧（空间）
空间复杂度为：O(N)
