3. 假设检验

假设检验(Hypothesis Test)是推断统计的另一种重要的方法。

3.1 假设检验概述

参数估计的主要任务是猜测参数的取值，而假设检验的着重点在于检验参数的取值是否等于某个目标值。
假设检验一般有两个隐含的思想：

• 小概率事件思想 。即小概率事件在一次试验中是不可能发生的，如果在我们的假设下出现了一个小概率事件，则认为我们的假设是错误的。
• 反证法思想 。反证法思想为先假设我们提出的假设是正确的，然后在该条件下检验观测到的事件是否是小概率事件。如果是则可以否定我们的假设。否则，就无法否定。
  假设检验的基本步骤如下：
  (1) 先根据实际问题的要求提出一个论断，称之为原假设 或 零假设(Null Hypothesis) ，记为H₀。同时提出一个与之互为反命题的备择假设(Alternative Hypothesis) ，记为H₁。
  (2) 然后在H₀正确的条件下，求出样本数据出现的频率，看我们手中的样本是不是小概率事件。
  (3) 最后如果样本是小概率事件，那么就认为原假设是错误的。在统计学上，我们称之为拒绝原假设。否则我们不能拒绝H₀的决策。

对于原假设和备择假设有如下的选择原则：

• 原假设应该是受保护的，不应该轻易被拒绝。
• 备择假设是检验者所希望的结果。
• 等号永远出现在原假设中。

3.2 两类错误

• 第一类错误(Type I Error)：拒绝了本来正确的原假设(弃真)。
  犯第一类错误的概率记为α。
• 第二类错误(Type II Error)：没有拒绝原本是错误的原假设(取伪)。
  犯第二类错误的概率记为β。
• 假设检验中这两类错误都难以避免。我们无法同时控制两个错误发生的概率，如果降低想要α，β就会被提高。我们通常需要权衡这两种错误，一般我们选择控制α不限制β。

3.3 显著性水平与p值

为控制α，我们往往将α值固定，同时使得：

在统计学上，我们称$\alpha$为显著性水平(Significance Level)。常见的显著性水平有0.1, 0.05, 0.025。

为了确定一个事件是不是小概率事件，我们需要了解其发生概率。但是对于连续型随机变量，其取某个具体值的概率为0，我们无法计算。所以就有了使用p值的方法。
我们算出假设在原假设正确条件下，和当前样本中一样极端或更极端的情况出现的概率，这个概率就是p值(p-value)。

3.4 确定小概率事件

判断一个事件是否是小概率事件的一个基本原则：当p值小于α时，我们认为样本为小概率事件。
而对于p指与α的比较，可采取两种方法：临界值检验法(Critical Value Approach)和显著性检验法(p-value approch)。

• 临界值检验法：
  使用临界值检验法首先要使用样本数据构建一个用于检验的统计量，这个统计量往往是总体参数的点估计量。然后我们需要确定能够拒绝原假设的最大p值。根据小概率事件的判断原则，这个最大值即是α。然后根据α和统计量所服从的概率分布可以求得临界值。求得临界值后用统计量和与该临界值进行比较，如果统计量与临界值的偏差大于该临界值与原假设的偏差，那么当前样本就与临界值一样极端，其p值也就会小于α。如此以来我们就认为当前样本是小概率事件，应该拒绝原假设。
• 显著性检验法
  显著性检验与临界值检验法较为类似，同样需要先构建一个用于检验的统计量，与临界值方法不同的是，我们直接根据原假设和统计量的概率分布求解其p值，然后将p值与α进行比较，从而拒绝原假设。

4. t检验

根据构建统计量服从的概率分布，我们所用的参数检验可以分为z检验、t检验、F检验等。其中，t检验所使用的统计量服从t分布，常常用于检验标准差σ未知的、服从正态分布的总体的均值。
常见的t检验主要有单样本t检验(One Sample t Test) ，配对样本t检验(Paired Sample t Test) 和 独立样本t检验(Independent Sample Test)。

• 单样本t检验是检验单个变量的均值与目标值之间是否存在差异。如果总体均值已知，样本均值与总体均值之间差异的显著性检验属于单样本t检验。

• 独立样本t检验用于检验两组来自独立总体的样本 其独立总体的均值是否一样。如果两组样本彼此不独立，则应该使用配对样本t检验。

• 配对样本t检验用于检验两个相关的样本(配对样本)是否来自具有相同均值的总体。

4.1 单样本t检验

比较：总体均值u与指定检验值u₀是否存在显著性差异。

将样本均值与样本标准差代入该统计量，就可以得到该统计量的值，然后就可以根据t分布的分布函数计算出p值并与显著性水平α比较，或是与显著性水平α下的临界值进行比较。

# 接着使用上边代码调取的数据
# 用单样本t检验2020年沪深300的收益率均值是否为0
stats.ttest_1samp(Retindex,0) #注意躲坑：1samp的首个字符不是字母l，是数字1

结果：

这里p值为0.2355742>0.05，所以在5%的置信水平下不能拒绝原假设。进而，可以推断2020年沪深300收益率均值为0。

4.2 独立样本t检验

用独立样本t检验来检验上证指数和深证成指2020年的收益率是否相等。

# 调取数据
# 上证指数
df1 = pro.index_daily(ts_code='000001.SH')  
df1['trade_date'] = pd.to_datetime(df1['trade_date'])  
df1.set_index(['trade_date'], inplace=True)  # 将日期列作为行索引
df1 = df1.sort_index() 

# 深证成指
df2 = pro.index_daily(ts_code='399001.SZ')  
df2['trade_date'] = pd.to_datetime(df2['trade_date'])  
df2.set_index(['trade_date'], inplace=True)  # 将日期列作为行索引
df2 = df2.sort_index() 

# 提取数据
SHRet = df1['2020'].pct_chg 
SZRet = df2['2020'].pct_chg

# 输入两个变量
stats.ttest_ind(SHRet,SZRet)

结果如下：

p值为0.52382>0.05，所以在5%的显著性水平下我们不能拒绝原假设。进而可以推断2020年上证指数与深证成指收益率均值相等。

4.3 配对样本t检验

独立样本t检验假设两者是相互独立的，对于上证指数与深证成指的收益率，这个假设是很值得怀疑的。所以我们再用配对样本t检验两者均值是否相等。

stats.ttest_rel(SHRet,SZRet)

结果如下：

这次的p值为0.040551137<0.05，所以在5%的显著性水平下，我们可以拒绝原假设。即2020年上证指数与深证成指的收益率并不相等。