已知
- 20条鱼每天能生殖14条小鱼
- 每条鱼每天平均产出0.7条鱼
- 照料的很好，死亡率 = 0
- 简化模型，刚出生的小鱼就能生殖小鱼
- 鱼缸最大环境承受值750条
- 越接近环境承受值，小鱼的生育力越低（暗含死亡率）
- 每天卖出20条小鱼
建模
- P(0) = 30 第0天的小鱼数量
P_init = 30 - P(1) = P(0) + 0.7 * P(0) - 20 第1天的小鱼的数量
- P(t+Δt) = P(t) +0.7 * P(t) * Δt -20 * Δt 第t+Δt天相对第t天的小鱼数量
- P(t+Δt) = P(t) +0.7 *(1 - P(t)/750) * P(t) * Δt -20 * Δt 加入环境承受值对于生育率的影响(简单模型)
简单的分析一下P的变化-微分和导数
这是一个P的导数，相关与P函数本身的一个微分方程，Autonomous differential equations 自控微分方程 。看上去是不是很复杂，这个时候我们就要呼唤欧拉了 ：欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉()，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法（Explicit method）。
python实现
函数和初始值
- 欧拉方法解微分方程的关键点在于Δt的选取，Δt越接近0，函数图像越准确
- 在这里我们将Δt作为预测函数的参数
def fish_predict(Dt): #Δt t_init = 0 #第0天开始 t_end = 30 #第30天结束 P_init = 30 #初始数量30 n_steps = int(round((t_end-t_init)/Dt))
在这里n_steps = (30-0)/Δt ，代表着一共做多少次欧拉方法来绘制函数图像
引入数学分析工具
import numpy as np #矩阵 import matplotlib.pyplot as plt #绘图
建立自变量和因变量矩阵
t_arr = np.zeros(n_steps + 1) #创建一维矩阵t，记录自变量变化（初始为零） P_arr = np.zeros(n_steps + 1) #创建一维矩阵P，记录因变量变化（初始为零） t_arr[0] = t_init #默认值 P_arr[0] = P_init #默认值
欧拉方法-步进，得到函数离散值
- 当前节点函数值 = 前一个节点函数值 + 前一个节点的导数 * 自变量变化量
P_arr[i] = P + Dt*dPdt
# Euler's method for i in range (1, n_steps + 1): P = P_arr[i-1] t = t_arr[i-1] dPdt = 0.7*P*(1-P/750)-20 #导数 P_arr[i] = P + Dt*dPdt #求当前节点函数值 t_arr[i] = t + Dt #自变量步进变化 return P_arr,t_arr
这样的循环下来，我们就将欧拉方法融入python中，返回两个离散的P_arr、t_arr矩阵，帮助我们描述函数了
在不同变化量下调用函数
为了更加深刻的理解欧拉法求解微分方程，我在这里使用三个不同的变化量使用欧拉方法
p1,t1 = fish_predict(1) p2,t2 = fish_predict(0.5) p3,t3 = fish_predict(0.25)
绘图 - 曲线
fig = plt.figure() #创建图像 plt.plot(t1, p1, linewidth = 4) #绘制曲线 plt.plot(t2, p2, linewidth = 4) plt.plot(t3, p3, linewidth = 4)
绘图 - 标签、轴、网格
plt.title('fish', fontsize = 25) #标签 plt.xlabel('t', fontsize = 20) plt.ylabel('P(t)', fontsize = 20) plt.legend(['Dt = 1','Dt = 2','Dt = 3']) #图例 plt.xticks(fontsize = 15) #字体 plt.yticks(fontsize = 15) plt.grid(True) #网格 plt.axis([0, 25, 0, 800]) #坐标轴范围
图像展示
plt.show()
通过这么多我们可以分析得出，小店店主可以快乐的天天卖鱼捞金了。不过我才不会告诉他，小鱼要长几个月才能有生育能力。。。
如果对于鱼群的年龄和数量分布再进行分析，增加一个复杂的多为矩阵表示鱼群，也不成问题~
总结
本文对于一个鱼缸进行简单的数学建模、欧拉方法求解，数学转换代码，连续图像离散化，离散点构建图像，numpy构建矩阵，matplotlib.pyplot绘图，python实现。
这个鱼缸的最简模型从来不是python和数学的终点。仅仅是本文，和作者的一个暂时的节点。
